Упр.59 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 59. Существует ли периодическая функция, у которой: а) все рациональные числа являются периодами, а все иррациональные нет; б) все иррациональные числа являются периодами, а все рациональные нет?

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию

$$ f(x)= \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ рационально},\\ 0, & \text{если } x \text{ иррационально}. \end{cases} $$

Пусть $$T$$ — рациональное число. Тогда при любом $$x$$ числа $$x+T$$ и $$x-T$$ имеют ту же рациональность, что и $$x$$: рациональное число при прибавлении рационального остаётся рациональным, а иррациональное — иррациональным. Значит,

$$ f(x+T)=f(x), \qquad f(x-T)=f(x). $$

Следовательно, все рациональные числа являются периодами этой функции, а иррациональные — нет.

б) Предположим, что существует функция, у которой все иррациональные числа — периоды, а рациональные — нет. Тогда, например, числа

$$ T_1=\sqrt{2}, \qquad T_2=1-\sqrt{2} $$

являются периодами, а их сумма

$$ T_1+T_2=1 $$

тоже должна быть периодом, так как сумма периодов является периодом. Но $$1$$ — рациональное число, что противоречит условию.

Значит, такой функции не существует.