Упр.58 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 58. Докажите, что сумма двух непрерывных периодических функций, определенных на всей числовой прямой и не имеющих общих периодов, не является периодической.

Пусть сумма функций $$f(x)+g(x)$$ периодична. Тогда существует число $$T \ne 0$$ такое, что для всех $$x$$ выполняется

$$f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x).$$

Перенесём слагаемые:

$$f(x+T)-f(x)=-(g(x+T)-g(x)).$$

Если при этом обе функции непрерывны и периодичны на всей числовой прямой, то разность значений слева и справа должна быть постоянной. Но для периодических функций это возможно только в случае, когда

$$f(x+T)=f(x), \qquad g(x+T)=g(x)$$

для всех $$x$$, то есть число $$T$$ является общим периодом функций $$f$$ и $$g$$.

Это противоречит условию, что общих периодов у функций нет. Значит, сумма двух непрерывных периодических функций без общих периодов не может быть периодической.

Ответ

Сумма таких функций не является периодической.