Упр.574 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Пусть

$$x(t)=x_1(t)+x_2(t)=A_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2).$$

Сумма двух гармонических колебаний будет периодической тогда и только тогда, когда существует число $$T>0$$ такое, что

$$x(t+T)=x(t)$$

при всех $$t$$.

Тогда

$$A_1\cos(\omega_1(t+T)+\varphi_1)+A_2\cos(\omega_2(t+T)+\varphi_2)=x(t).$$

Это возможно лишь в том случае, если оба слагаемых сами периодичны с одним и тем же общим периодом $$T$$, то есть

$$\omega_1T=2\pi k,\qquad \omega_2T=2\pi n,$$

где $$k,n\in \mathbb{Z}.$$

Тогда

$$\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{k}{n}.$$

Следовательно, отношение частот должно быть рациональным числом.

Обратно, если

$$\frac{\omega_1}{\omega_2}=r=\frac{k}{n},$$

где $$k,n\in \mathbb{Z},$$ то можно выбрать общий период $$T$$, удовлетворяющий равенствам

$$\omega_1T=2\pi k,\qquad \omega_2T=2\pi n,$$

и тогда обе гармоники, а значит и их сумма, будут периодическими.

Ответ

Сумма двух гармонических колебаний периодична тогда и только тогда, когда отношение их частот рационально:

$$\frac{\omega_1}{\omega_2}=r,\qquad r\in \mathbb{Q}.$$