Упр.562 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) $$f(x)=x^{\frac{2}{5}}, \quad I=[1;32].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}}.$$
При $$x>0$$ имеем $$f'(x)>0$$, значит функция возрастает на своей области определения.
Следовательно, на отрезке $$[1;32]$$ наименьшее значение достигается при $$x=1$$, а наибольшее — при $$x=32$$:
$$f(1)=1^{\frac{2}{5}}=1,$$
$$f(32)=32^{\frac{2}{5}}=(2^5)^{\frac{2}{5}}=2^2=4.$$
б) $$f(x)=x^{-\frac{4}{3}}, \quad I=\left[\frac{1}{8};27\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{4}{3}x^{-\frac{7}{3}}.$$
При $$x>0$$ имеем $$f'(x)<0$$, значит функция убывает.
Значит, наибольшее значение достигается при $$x=\frac{1}{8}$$, а наименьшее — при $$x=27$$:
$$f\left(\frac{1}{8}\right)=\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{4}{3}}=(2^{-3})^{-\frac{4}{3}}=2^4=16,$$
$$f(27)=27^{-\frac{4}{3}}=(3^3)^{-\frac{4}{3}}=3^{-4}=\frac{1}{81}.$$
в) $$f(x)=x^{-4}, \quad I=\left[\frac{1}{2};1\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-4x^{-5}.$$
При $$x>0$$ имеем $$f'(x)<0$$, значит функция убывает.
Следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=\frac{1}{2}$$, а наименьшее — при $$x=1$$:
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}=2^4=16,$$
$$f(1)=1^{-4}=1.$$
г) $$f(x)=x^{\frac{3}{4}}, \quad I=\left[\frac{1}{16};81\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}}.$$
При $$x>0$$ имеем $$f'(x)>0$$, значит функция возрастает.
Значит, наименьшее значение достигается при $$x=\frac{1}{16}$$, а наибольшее — при $$x=81$$:
$$f\left(\frac{1}{16}\right)=\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{3}{4}}=(2^{-4})^{\frac{3}{4}}=2^{-3}=\frac{1}{8},$$
$$f(81)=81^{\frac{3}{4}}=(3^4)^{\frac{3}{4}}=3^3=27.$$