Упр.556 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) $$f(x)=x(\ln x)^2$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(\ln x)^2+2\ln x=\ln x(\ln x+2).$$
Критические точки:
$$\ln x=0 \Rightarrow x=1,$$
$$\ln x+2=0 \Rightarrow x=e^{-2}=\frac{1}{e^2}.$$
Исследуем знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ на } \left(0,\frac{1}{e^2}\right)\cup(1,+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ на } \left(\frac{1}{e^2},1\right).$$
Значит, функция возрастает на $$\left(0,\frac{1}{e^2}\right)\cup(1,+\infty),$$ убывает на $$\left(\frac{1}{e^2},1\right).$$
В точке $$x=\frac{1}{e^2}$$ — максимум:
$$f\!\left(\frac{1}{e^2}\right)=\frac{1}{e^2}\left(\ln \frac{1}{e^2}\right)^2=\frac{1}{e^2}\cdot 4=\frac{4}{e^2}.$$
В точке $$x=1$$ — минимум:
$$f(1)=1\cdot (\ln 1)^2=0.$$
б) $$f(x)=\frac{2x}{\lg x}$$
Область определения: $$x>0,\quad x\neq 1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{2\lg x-2x\cdot \frac{1}{x\ln 10}}{(\lg x)^2} =\frac{2\left(\lg x-\frac{1}{\ln 10}\right)}{(\lg x)^2}.$$
Так как $$\lg x=\frac{\ln x}{\ln 10},$$ то
$$f'(x)=\frac{2(\ln x-1)}{(\ln 10)(\lg x)^2}.$$
Знаменатель положителен на области определения, поэтому знак производной определяется выражением $$\ln x-1.$$
Критическая точка:
$$\ln x-1=0 \Rightarrow x=e.$$
Тогда функция убывает на $$\left(0,1\right)\cup(1,e),$$ возрастает на $$\left(e,+\infty\right).$$
Следовательно, при $$x=e$$ достигается минимум:
$$f(e)=\frac{2e}{\lg e}=2e\ln 10.$$
в) $$f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$$
Область определения: $$x>0.$$
Представим функцию как $$f(x)=\ln x\cdot x^{-1/2}.$$ Тогда
$$f'(x)=\frac{1}{x}\cdot x^{-1/2}+\ln x\cdot\left(-\frac12 x^{-3/2}\right) =\frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}.$$
Так как $$2x\sqrt{x}>0$$ при $$x>0,$$ знак производной определяется числителем $$2-\ln x.$$
Критическая точка:
$$2-\ln x=0 \Rightarrow x=e^2.$$
Тогда функция возрастает на $$\left(0,e^2\right),$$ убывает на $$\left(e^2,+\infty\right).$$
Следовательно, при $$x=e^2$$ достигается максимум:
$$f(e^2)=\frac{\ln e^2}{\sqrt{e^2}}=\frac{2}{e}.$$
г) $$f(x)=\frac{1}{x}+\ln x$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x^2}.$$
Критическая точка:
$$x-1=0 \Rightarrow x=1.$$
Так как $$x^2>0,$$ знак производной определяется числителем $$x-1.$$
Функция убывает на $$\left(0,1\right),$$ возрастает на $$\left(1,+\infty\right).$$
Следовательно, при $$x=1$$ достигается минимум:
$$f(1)=\frac{1}{1}+\ln 1=1.$$
Ответ
а) возрастает на $$\left(0,\frac{1}{e^2}\right)\cup(1,+\infty),$$ убывает на $$\left(\frac{1}{e^2},1\right);$$
максимум $$\frac{4}{e^2}$$ при $$x=\frac{1}{e^2},$$ минимум $$0$$ при $$x=1$$.
б) убывает на $$\left(0,1\right)\cup(1,e),$$ возрастает на $$\left(e,+\infty\right);$$ минимум $$2e\ln 10$$ при $$x=e$$.
в) возрастает на $$\left(0,e^2\right),$$ убывает на $$\left(e^2,+\infty\right);$$ максимум $$\frac{2}{e}$$ при $$x=e^2$$.
г) убывает на $$\left(0,1\right),$$ возрастает на $$\left(1,+\infty\right);$$ минимум $$1$$ при $$x=1$$.
