Упр.555 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) $$f(x)=\sqrt{x}\ln x=x^{\frac12}\ln x,$$ $$x>0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\left(x^{\frac12}\ln x\right)’=\frac12x^{-\frac12}\ln x+x^{\frac12}\cdot\frac1x=\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}+\frac1{\sqrt{x}}=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}.$$

   Так как $$2\sqrt{x}>0$$ при $$x>0,$$ знак производной определяется числителем $$\ln x+2.$$

   $$\ln x+2=0 \;\Rightarrow\; \ln x=-2 \;\Rightarrow\; x=e^{-2}.$$

   Следовательно, функция убывает на $$\left(0;e^{-2}\right),$$ возрастает на $$\left(e^{-2};+\infty\right).$$

   В точке $$x=e^{-2}$$ достигается минимум:

   $$f_{\min}=f\left(e^{-2}\right)=\sqrt{e^{-2}}\ln\left(e^{-2}\right)=e^{-1}\cdot(-2)=-\frac{2}{e}.$$

2. б) $$f(x)=\frac{\ln x}{x},$$ $$x>0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)’=\frac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$

   Так как $$x^2>0$$ при $$x>0,$$ знак производной определяется числителем $$1-\ln x.$$

   $$1-\ln x=0 \;\Rightarrow\; \ln x=1 \;\Rightarrow\; x=e.$$

   Следовательно, функция возрастает на $$\left(0;e\right),$$ убывает на $$\left(e;+\infty\right).$$

   В точке $$x=e$$ достигается максимум:

   $$f_{\max}=f(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac1e.$$

3. в) $$f(x)=2x-\ln x,$$ $$x>0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=(2x-\ln x)’=2-\frac1x=\frac{2x-1}{x}.$$

   Так как $$x>0,$$ знак производной определяется числителем $$2x-1.$$

   $$2x-1=0 \;\Rightarrow\; x=\frac12.$$

   Следовательно, функция убывает на $$\left(0;\frac12\right),$$ возрастает на $$\left(\frac12;+\infty\right).$$

   В точке $$x=\frac12$$ достигается минимум:

   $$f_{\min}=f\left(\frac12\right)=2\cdot\frac12-\ln\frac12=1+\ln 2.$$

4. г) $$f(x)=x\ln x,$$ $$x>0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=(x\ln x)’=\ln x+x\cdot\frac1x=\ln x+1.$$

   Критическая точка:

   $$\ln x+1=0 \;\Rightarrow\; \ln x=-1 \;\Rightarrow\; x=\frac1e.$$

   Следовательно, функция убывает на $$\left(0;\frac1e\right),$$ возрастает на $$\left(\frac1e;+\infty\right).$$

   В точке $$x=\frac1e$$ достигается минимум:

   $$f_{\min}=f\left(\frac1e\right)=\frac1e\ln\frac1e=\frac1e\cdot(-1)=-\frac1e.$$

Ответ

а) убывает на $$\left(0;e^{-2}\right),$$ возрастает на $$\left(e^{-2};+\infty\right),$$ минимум $$-\frac{2}{e}$$ при $$x=e^{-2}$$;
б) возрастает на $$\left(0;e\right),$$ убывает на $$\left(e;+\infty\right),$$ максимум $$\frac1e$$ при $$x=e$$;
в) убывает на $$\left(0;\frac12\right),$$ возрастает на $$\left(\frac12;+\infty\right),$$ минимум $$1+\ln 2$$ при $$x=\frac12$$;
г) убывает на $$\left(0;\frac1e\right),$$ возрастает на $$\left(\frac1e;+\infty\right),$$ минимум $$-\frac1e$$ при $$x=\frac1e$$.