Упр.554 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$y=\frac{\ln(5+3x)}{x^2+1}$$

   Применим правило производной частного:

   $$ y’=\frac{\left(\ln(5+3x)\right)'(x^2+1)-\ln(5+3x)\cdot (x^2+1)’}{(x^2+1)^2} $$

   $$ \left(\ln(5+3x)\right)’=\frac{3}{5+3x}, \qquad (x^2+1)’=2x $$

   $$ y’=\frac{\frac{3}{5+3x}(x^2+1)-2x\ln(5+3x)}{(x^2+1)^2} =\frac{3(x^2+1)-2x(5+3x)\ln(5+3x)}{(5+3x)(x^2+1)^2} $$

2. $$y=\frac{\sqrt{x}}{\lg(1-2x)}$$

   Используем правило производной частного:

   $$ y’=\frac{\left(\sqrt{x}\right)’\lg(1-2x)-\sqrt{x}\cdot \left(\lg(1-2x)\right)’}{\left(\lg(1-2x)\right)^2} $$

   $$ \left(\sqrt{x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad \left(\lg(1-2x)\right)’=\frac{-2}{(1-2x)\ln 10} $$

   $$ y’=\frac{\frac{\lg(1-2x)}{2\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}}{(1-2x)\ln 10}}{\left(\lg(1-2x)\right)^2} $$

   Так как $$\lg(1-2x)=\frac{\ln(1-2x)}{\ln 10},$$ получаем:

   $$ y’=\frac{\ln 10\,(1-2x)\ln(1-2x)+4x}{2\sqrt{x}(1-2x)\left(\ln(1-2x)\right)^2} $$

3. $$y=\frac{x^2}{\ln 5x}$$

   Применим правило производной частного:

   $$ y’=\frac{(x^2)’\ln 5x-x^2(\ln 5x)’}{(\ln 5x)^2} $$

   $$ (x^2)’=2x, \qquad (\ln 5x)’=\frac{1}{x} $$

   $$ y’=\frac{2x\ln 5x-x^2\cdot \frac{1}{x}}{(\ln 5x)^2} =\frac{x(2\ln 5x-1)}{(\ln 5x)^2} $$

4. $$y=\frac{\log_3 x^2}{x+1}$$

   Используем формулу $$\log_3 x^2=\frac{\ln x^2}{\ln 3}$$ и правило производной частного:

   $$ y’=\frac{\left(\frac{\ln x^2}{\ln 3}\right)'(x+1)-\frac{\ln x^2}{\ln 3}\cdot 1}{(x+1)^2} $$

   $$ \left(\frac{\ln x^2}{\ln 3}\right)’=\frac{1}{\ln 3}\cdot \frac{2}{x} $$

   Тогда

   $$ y’=\frac{\frac{2}{x\ln 3}(x+1)-\frac{\ln x^2}{\ln 3}}{(x+1)^2} =\frac{2(x+1)-x\ln x^2}{x\ln 3\,(x+1)^2} $$

   Так как $$\ln x^2=2\ln|x|,$$ можно также записать:

   $$ y’=\frac{2(x+1)-2x\ln|x|}{x\ln 3\,(x+1)^2} $$

Ответ

а) $$y’=\frac{3(x^2+1)-2x(5+3x)\ln(5+3x)}{(5+3x)(x^2+1)^2}$$
б) $$y’=\frac{\ln 10\,(1-2x)\ln(1-2x)+4x}{2\sqrt{x}(1-2x)\left(\ln(1-2x)\right)^2}$$
в) $$y’=\frac{x(2\ln 5x-1)}{(\ln 5x)^2}$$
г) $$y’=\frac{2(x+1)-x\ln x^2}{x\ln 3\,(x+1)^2}$$