Упр.548 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) Фигура ограничена линиями $$y=\left(\frac13\right)^x,\ y=3,\ x=1.$$
Точка пересечения графика с прямой $$y=3$$:
$$\left(\frac13\right)^x=3 \;\Rightarrow\; 3^{-x}=3^1 \;\Rightarrow\; x=-1.$$
Тогда площадь равна
$$ S=3\cdot 2-\int_{-1}^{1}\left(\frac13\right)^x\,dx =6-\left.\frac{\left(\frac13\right)^x}{\ln\left(\frac13\right)}\right|_{-1}^{1} =6+\left.\frac{\left(\frac13\right)^x}{\ln 3}\right|_{-1}^{1}. $$
$$ S=6+\frac{\frac13-3}{\ln 3} =6-\frac{8}{3\ln 3}. $$
б) Фигура ограничена линиями $$y=e^x,\ y=e^{-x},\ y=e.$$
Точки пересечения с прямой $$y=e$$:
$$e=e^x \Rightarrow x=1,\qquad e=e^{-x} \Rightarrow x=-1.$$
Площадь фигуры:
$$ S=2e-2\int_{0}^{1}e^x\,dx =2e-2\left.e^x\right|_{0}^{1} =2e-2(e-1)=2. $$
в) Фигура ограничена линиями $$y=\left(\frac12\right)^x,\ y=1,\ x=-2.$$
Точка пересечения графика с прямой $$y=1$$:
$$\left(\frac12\right)^x=1 \Rightarrow x=0.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_{-2}^{0}\left(\frac12\right)^x\,dx-2\cdot 1 =\left.\frac{\left(\frac12\right)^x}{\ln\left(\frac12\right)}\right|_{-2}^{0}-2 =-\left.\frac{\left(\frac12\right)^x}{\ln 2}\right|_{-2}^{0}-2. $$
$$ S=-\frac{1-4}{\ln 2}-2=\frac{3}{\ln 2}-2. $$
г) Фигура ограничена линиями $$y=\left(\frac12\right)^x,\ y=4^x,\ y=4.$$
Точки пересечения с прямой $$y=4$$:
$$ 4=\left(\frac12\right)^x \Rightarrow 4=2^{-x} \Rightarrow x=-2, $$
$$ 4=4^x \Rightarrow x=1. $$
Площадь фигуры:
$$ S=4\cdot 3-\int_{-2}^{0}\left(\frac12\right)^x\,dx-\int_{0}^{1}4^x\,dx. $$
$$ S=12-\left.\frac{\left(\frac12\right)^x}{\ln\left(\frac12\right)}\right|_{-2}^{0}-\left.\frac{4^x}{\ln 4}\right|_{0}^{1} =12+\left.\frac{\left(\frac12\right)^x}{\ln 2}\right|_{-2}^{0}-\left.\frac{4^x}{2\ln 2}\right|_{0}^{1}. $$
$$ S=12+\frac{1-4}{\ln 2}-\frac{4-1}{2\ln 2} =12-\frac{3}{\ln 2}-\frac{3}{2\ln 2} =12-\frac{9}{2\ln 2}. $$