Упр.54 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=cos^2(x)+cos^4(x); б) y=[x]^2;
в) y=3sin^2(x)-4sin(x)-2; г) y={1/(x^2+1/2)}.

а) Пусть $$t=\cos^2 x.$$ Тогда $$0\le t\le 1$$ и

$$y=t+t^2.$$

Это парабола, ветви направлены вверх. На отрезке $$[0;1]$$ минимум достигается при $$t=0$$:

$$y_{\min}=0^2+0=0,$$

а максимум — при $$t=1$$:

$$y_{\max}=1^2+1=2.$$

Значит, область значений:

$$[0;2].$$

б) Для целой части $$[x]$$ имеем $$[x]\in \mathbb{Z}.$$ Тогда

$$y=[x]^2=n^2,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Следовательно, область значений — все квадраты целых чисел:

$$\{n^2\mid n\in \mathbb{Z}\}=\{0,1,4,9,\dots\}.$$

в) Обозначим $$t=\sin x.$$ Тогда $$-1\le t\le 1$$ и

$$y=3t^2-4t-2.$$

Это парабола, ветви вверх. Вершина находится при

$$t_0=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$y_{\min}=3\left(\frac{2}{3}\right)^2-4\cdot \frac{2}{3}-2=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}-2=-\frac{10}{3}.$$

На концах отрезка:

$$y(-1)=3\cdot 1+4-2=5,$$

$$y(1)=3\cdot 1-4-2=-3.$$

Значит, область значений:

$$\left[-\frac{10}{3};\,5\right].$$

г) Пусть

$$y=\frac{1}{x^2+\frac12}.$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ то

$$x^2+\frac12\ge \frac12,$$

следовательно,

$$0<y\le \frac{1}{1/2}=2.$$

При $$x=0$$ получаем $$y=2,$$ а при $$|x|\to \infty$$ значение $$y\to 0.$$

Значит, область значений:

$$\left(0;2\right].$$

Ответ

а) $$[0;2]$$; б) $$\{n^2\mid n\in \mathbb{Z}\}$$; в) $$\left[-\frac{10}{3};\,5\right]$$; г) $$\left(0;2\right].$$