Упр.536 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) $$f(x)=\sin x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

   На этом промежутке функция $$f(x)=\sin x$$ возрастает, значит, обратная функция существует.

   Тогда

   $$g(x)=\arcsin x.$$

   Область определения и множество значений:

   $$D(g)=[-1;1],\qquad E(g)=\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

2. б) $$f(x)=\tg x,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}>0.$$

   Следовательно, функция возрастает на указанном промежутке, значит, обратная функция существует.

   Тогда

   $$g(x)=\arctg x.$$

   Область определения и множество значений:

   $$D(g)=\mathbb{R},\qquad E(g)=\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$

3. в) $$f(x)=\cos x,\quad x\in[0;\pi].$$

   На промежутке $$[0;\pi]$$ функция убывает, значит, обратная функция существует.

   Тогда

   $$g(x)=\arccos x.$$

   Область определения и множество значений:

   $$D(g)=[-1;1],\qquad E(g)=[0;\pi].$$

4. г) $$f(x)=\ctg x,\quad x\in(0;\pi).$$

   На промежутке $$ (0;\pi) $$ функция убывает, значит, обратная функция существует.

   Тогда

   $$g(x)=\arcctg x.$$

   Область определения и множество значений:

   $$D(g)=\mathbb{R},\qquad E(g)=(0;\pi).$$

Графики обратных функций получаются отражением графиков исходных функций относительно прямой $$y=x$$.

Ответ

а) $$g(x)=\arcsin x$$;
б) $$g(x)=\arctg x$$;
в) $$g(x)=\arccos x$$;
г) $$g(x)=\arcctg x$$.