Упр.535 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) $$f(x)=x^2+1,\quad x\le 0.$$
На промежутке $$(-\infty;0]$$ функция $$f(x)$$ убывает, значит, на этом промежутке существует обратная функция.
Из уравнения $$y=x^2+1$$ получаем
$$x=-\sqrt{y-1}.$$
Заменяя $$y$$ на $$x$$, получаем
$$g(x)=-\sqrt{x-1}.$$
Следовательно, $$g(x)$$ — обратная к $$f(x)$$ на указанном промежутке. При этом
$$D(g)=[1;+\infty),\qquad E(g)=(-\infty;0].$$
б) $$f(x)=2x,\quad (-\infty;+\infty).$$
Функция $$f(x)$$ возрастает на всей числовой прямой, значит, обратная функция существует.
Из уравнения $$y=2x$$ получаем
$$x=\frac{y}{2}.$$
Тогда
$$g(x)=\frac{x}{2}.$$
Следовательно, $$g(x)$$ — обратная к $$f(x)$$. Здесь
$$D(g)=E(g)=\mathbb{R}.$$
в) $$f(x)=\sqrt[4]{x},\quad x\ge 0.$$
На промежутке $$[0;+\infty)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, значит, обратная функция существует.
Из уравнения $$y=\sqrt[4]{x}$$ получаем
$$x=y^4.$$
Значит,
$$g(x)=x^4.$$
Итак, $$g(x)$$ — обратная к $$f(x)$$. При этом
$$D(g)=[0;+\infty),\qquad E(g)=[0;+\infty).$$
г) $$f(x)=x^3+1,\quad (-\infty;+\infty).$$
Функция $$f(x)$$ возрастает на всей числовой прямой, значит, обратная функция существует.
Из уравнения $$y=x^3+1$$ получаем
$$x=\sqrt[3]{y-1}.$$
Тогда
$$g(x)=\sqrt[3]{x-1}.$$
Следовательно, $$g(x)$$ — обратная к $$f(x)$$. Здесь
$$D(g)=E(g)=\mathbb{R}.$$
Ответ
а) $$g(x)=-\sqrt{x-1},\quad D(g)=[1;+\infty),\ E(g)=(-\infty;0].$$
б) $$g(x)=\frac{x}{2},\quad D(g)=E(g)=\mathbb{R}.$$
в) $$g(x)=x^4,\quad D(g)=E(g)=[0;+\infty).$$
г) $$g(x)=\sqrt[3]{x-1},\quad D(g)=E(g)=\mathbb{R}.$$
