Упр.532 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
а) $$f(x)=-\frac{1}{x}$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$y=-\frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{1}{y}$$
Значит, обратная функция:
$$g(x)=-\frac{1}{x}$$
Область определения и область значений:
$$D(g)=(-\infty;0)\cup(0;\infty), \qquad E(g)=(-\infty;0)\cup(0;\infty).$$
б) $$f(x)=2x^2,\quad x\ge 0$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$y=2x^2 \quad \Rightarrow \quad x=\sqrt{\frac{y}{2}}$$
Тогда обратная функция:
$$g(x)=\sqrt{\frac{x}{2}}$$
Так как у исходной функции $$x\ge 0$$ и $$y\ge 0$$, то
$$D(g)=[0;\infty), \qquad E(g)=[0;\infty).$$
в) $$f(x)=\frac{x}{x+2}$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$y=\frac{x}{x+2}$$
$$y(x+2)=x$$
$$yx+2y=x$$
$$x(y-1)=-2y$$
$$x=\frac{2y}{1-y}$$
Следовательно,
$$g(x)=\frac{2x}{1-x}$$
Область определения обратной функции: $$x\ne 1$$, то есть
$$D(g)=(-\infty;1)\cup(1;\infty).$$
Область значений: $$y\ne -2$$, значит
$$E(g)=(-\infty;-2)\cup(-2;\infty).$$
г) $$f(x)=\sqrt{x+1}$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$y=\sqrt{x+1} \quad \Rightarrow \quad y^2=x+1 \quad \Rightarrow \quad x=y^2-1$$
Тогда обратная функция:
$$g(x)=x^2-1$$
Так как для $$f(x)$$ нужно $$x\ge -1$$, а значения корня неотрицательны, то
$$D(g)=[0;\infty), \qquad E(g)=[-1;\infty).$$
Ответ
а) $$g(x)=-\frac{1}{x},\quad D(g)=(-\infty;0)\cup(0;\infty),\quad E(g)=(-\infty;0)\cup(0;\infty).$$
б) $$g(x)=\sqrt{\frac{x}{2}},\quad D(g)=[0;\infty),\quad E(g)=[0;\infty).$$
в) $$g(x)=\frac{2x}{1-x},\quad D(g)=(-\infty;1)\cup(1;\infty),\quad E(g)=(-\infty;-2)\cup(-2;\infty).$$
г) $$g(x)=x^2-1,\quad D(g)=[0;\infty),\quad E(g)=[-1;\infty).$$
