Упр.529 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

$$\begin{cases} \log_{\frac13}(x+y)=2,\\ \log_3(x-y)=2 \end{cases}$$
По определению логарифма:
$$\begin{cases} x+y=\left(\frac13\right)^2=\frac19,\\ x-y=3^2=9 \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2x=\frac19+9=\frac{82}{9}, \qquad x=\frac{41}{9}.$$
Вычитаем первое уравнение из второго:
$$2y=\frac19-9=-\frac{80}{9}, \qquad y=-\frac{40}{9}.$$
$$\begin{cases} \lg(x^2+y^2)=2,\\ \log_{48}x+\log_{48}y=1 \end{cases}$$
Тогда
$$\begin{cases} x^2+y^2=100,\\ \log_{48}(xy)=1 \end{cases}$$
Отсюда
$$\begin{cases} x^2+y^2=100,\\ xy=48 \end{cases}$$
Выразим $$y=\frac{48}{x}$$ и подставим:
$$x^2+\left(\frac{48}{x}\right)^2=100.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-100x^2+2304=0.$$
Обозначим $$t=x^2$$:
$$t^2-100t+2304=0.$$
$$t=64 \text{ или } t=36.$$
Значит,
$$x=8 \text{ или } x=6.$$
Тогда
$$y=\frac{48}{x}$$
даёт пары
$$(6;8), \ (8;6).$$
$$\begin{cases} \log_{\frac13}x+\log_{\frac13}y=2,\\ \log_{\frac13}x-\log_{\frac13}y=4 \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2\log_{\frac13}x=6,$$
$$\log_{\frac13}x=3,$$
$$x=\left(\frac13\right)^3=\frac1{27}.$$
Из первого уравнения:
$$\log_{\frac13}y=2-3=-1,$$
$$y=\left(\frac13\right)^{-1}=3.$$
$$\begin{cases} \lg(x^2+y^2)=1+\lg 13,\\ \lg(x+y)=\lg(x-y)+\lg 8 \end{cases}$$
Преобразуем:
$$\begin{cases} \lg(x^2+y^2)=\lg 130,\\ \lg(x+y)=\lg\bigl(8(x-y)\bigr) \end{cases}$$
Значит,
$$\begin{cases} x^2+y^2=130,\\ x+y=8(x-y) \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x+y=8x-8y,$$
$$9y=7x,$$
$$y=\frac79x.$$
Подставим в первое:
$$x^2+\left(\frac79x\right)^2=130,$$
$$x^2+\frac{49}{81}x^2=130,$$
$$\frac{130}{81}x^2=130,$$
$$x^2=81,$$
$$x=\pm 9.$$
Тогда
$$y=\frac79x=\pm 7.$$
С учётом области определения $$x+y>0$$ подходит только пара $$x=9,\ y=7.$$