Упр.528 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) $$\log_2 \sin \frac{x}{2} < -1.$$
По определению логарифма $$\sin \frac{x}{2} > 0.$$
Так как $$-1=\log_2 \frac12,$$ а основание $$2>1,$$ то
$$\sin \frac{x}{2} < \frac12.$$
При этом $$0<\sin \frac{x}{2}<\frac12,$$ значит
$$0<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{6} \quad \text{или} \quad \frac{5\pi}{6}<\frac{x}{2}<\pi.$$
С учётом периодичности функции $$\sin \frac{x}{2}$$ получаем:
$$ 4\pi n<x<\frac{\pi}{3}+4\pi n \quad \text{или} \quad \frac{5\pi}{3}+4\pi n<x<4\pi+4\pi n,\quad n\in \mathbb Z. $$
б) $$|3-\log_2 x|<2.$$
Решаем двойное неравенство:
$$-2<3-\log_2 x<2.$$
Вычтем 3:
$$-5<-\log_2 x<-1.$$
Умножим на $$-1$$, изменив знаки неравенств:
$$5>\log_2 x>1,$$ то есть $$1<\log_2 x<5.$$
Так как основание $$2>1,$$ получаем:
$$2<x<32.$$
в) $$\log_{\frac12}\cos 2x>1.$$
По определению логарифма $$\cos 2x>0.$$
Так как $$1=\log_{\frac12}\frac12,$$ а основание $$\frac12<1,$$ то знак неравенства меняется:
$$\cos 2x<\frac12.$$
Следовательно,
$$0<\cos 2x<\frac12.$$
Отсюда
$$ -\frac{\pi}{2}+2\pi n<2x<-\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z. $$
Делим на 2:
$$ -\frac{\pi}{4}+\pi n<x<-\frac{\pi}{6}+\pi n \quad \text{или} \quad \frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z. $$
г) $$|3\lg x-1|<2.$$
Решаем двойное неравенство:
$$-2<3\lg x-1<2.$$
Прибавим 1:
$$-1<3\lg x<3.$$
Разделим на 3:
$$-\frac13<\lg x<1.$$
Так как $$\lg 10^{-\frac13}<\lg x<\lg 10,$$ а функция $$\lg x$$ возрастает, то
$$10^{-\frac13}<x<10.$$
Ответ
а) $$x\in\left(4\pi n;\frac{\pi}{3}+4\pi n\right)\cup\left(\frac{5\pi}{3}+4\pi n;4\pi+4\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x\in(2;32);$$
в) $$x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi n;-\frac{\pi}{6}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{6}+\pi n;\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x\in\left(10^{-\frac13};10\right).$$
