Упр.527 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
Решение
$$\left(\log_2 x\right)^2-\log_2 x\le 6.$$
Обозначим $$y=\log_2 x.$$ Тогда
$$y^2-y-6\le 0,$$
$$\left(y-3\right)\left(y+2\right)\le 0,$$
откуда
$$-2\le y\le 3.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$-2\le \log_2 x\le 3,$$
$$\log_2 \frac14\le \log_2 x\le \log_2 8.$$
Так как основание $$2>1,$$ получаем
$$\frac14\le x\le 8.$$
$$\left(\log_{\frac13} x\right)^2-4>0.$$
По определению логарифма $$x>0.$$
Тогда
$$\left(\log_{\frac13} x\right)^2>4,$$
$$\log_{\frac13} x>2 \quad \text{или} \quad \log_{\frac13} x<-2.$$
Переходим к показательной форме:
$$\log_{\frac13} x>\log_{\frac13}\frac19 \quad \text{или} \quad \log_{\frac13} x<\log_{\frac13} 9.$$
Так как основание $$\frac13<1,$$ знак неравенства меняется:
$$x<\frac19 \quad \text{или} \quad x>9.$$
$$\left(\lg x\right)^2+2\lg x>3.$$
По определению логарифма $$x>0.$$
Обозначим $$y=\lg x.$$ Тогда
$$y^2+2y-3>0,$$
$$\left(y-1\right)\left(y+3\right)>0,$$
откуда
$$y<-3 \quad \text{или} \quad y>1.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\lg x<\lg 0{,}001 \quad \text{или} \quad \lg x>\lg 10.$$
Так как основание $$10>1,$$ получаем
$$0<x<0{,}001 \quad \text{или} \quad x>10.$$
$$\left(\log_3 x\right)^2-9\le 0.$$
По определению логарифма $$x>0.$$
Тогда
$$\left(\log_3 x\right)^2\le 9,$$
$$-3\le \log_3 x\le 3.$$
Переходим к основанию 3:
$$\log_3 \frac1{27}\le \log_3 x\le \log_3 27.$$
Так как основание $$3>1,$$ получаем
$$\frac1{27}\le x\le 27.$$
Ответ
а) $$x\in \left[\frac14;8\right]$$; б) $$x\in \left(0;\frac19\right)\cup(9;\infty)$$; в) $$x\in (0;0{,}001)\cup(10;\infty)$$; г) $$x\in \left[\frac1{27};27\right].$$
