Упр.524 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

$$\log_2(9-2^x)=3-x.$$
По определению логарифма:
$$9-2^x=2^{3-x}=\frac{8}{2^x}.$$
Введём замену: $$y=2^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$9-y=\frac{8}{y},$$
$$9y-y^2=8,$$
$$y^2-9y+8=0.$$
$$y_1=1,\quad y_2=8.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$
$$2^x=8 \Rightarrow x=3.$$
$$\log_2(25^{x+3}-1)=2+\log_2(5^{x+3}+1).$$
Пусть $$y=5^{x+3},\quad y>0.$$ Тогда $$25^{x+3}=y^2,$$ и уравнение принимает вид
$$\log_2(y^2-1)=\log_2 4+\log_2(y+1)=\log_2\bigl(4(y+1)\bigr).$$
Следовательно,
$$y^2-1=4(y+1),$$
$$y^2-4y-5=0,$$
$$ (y-5)(y+1)=0.$$
Так как $$y>0,$$ то $$y=5.$$ Тогда
$$5^{x+3}=5,$$
$$x+3=1,$$
$$x=-2.$$
$$\log_4(2\cdot 4^{x-2}-1)=2x-4.$$
По определению логарифма:
$$2\cdot 4^{x-2}-1=4^{2x-4},$$
при условии
$$2\cdot 4^{x-2}-1>0.$$
Преобразуем:
$$2\cdot \frac{4^x}{16}-1=\frac{4^{2x}}{256},$$
$$\frac{1}{8}4^x-1=\frac{1}{256}4^{2x}.$$
Умножим на $$256$$:
$$32\cdot 4^x-256=4^{2x}.$$
Положим $$t=4^x>0.$$ Тогда
$$t^2-32t+256=0,$$
$$ (t-16)^2=0,$$
$$t=16.$$
Значит,
$$4^x=16=4^2,$$
$$x=2.$$
Проверка ОДЗ: $$2\cdot 4^{2-2}-1=1>0.$$
$$\log_2(4^x+4)=\log_2 2^x+\log_2(2^{x+1}-3).$$
Объединим логарифмы справа:
$$\log_2(4^x+4)=\log_2\bigl(2^x(2^{x+1}-3)\bigr).$$
Тогда
$$4^x+4=2^x(2^{x+1}-3).$$
Положим $$t=2^x>0.$$ Тогда $$4^x=t^2,$$ и получаем
$$t^2+4=t(2t-3),$$
$$t^2-3t-4=0,$$
$$ (t-4)(t+1)=0.$$
Так как $$t>0,$$ то $$t=4.$$ Следовательно,
$$2^x=4,$$
$$x=2.$$
Проверка ОДЗ: $$2^{x+1}-3>0 \Rightarrow x>\log_2\frac{3}{2},$$ при $$x=2$$ условие выполняется.