Упр.522 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
$$\frac{1}{\lg x+1}+\frac{6}{\lg x+5}=1.$$
Введём новую неизвестную $$y=\lg x+1.$$ Тогда $$\lg x+5=y+4,$$ и получаем
$$\frac{1}{y}+\frac{6}{y+4}=1.$$
Умножим на $$y(y+4)$$:
$$y+4+6y=y(y+4),$$
$$y^2-3y-4=0.$$
$$y_1=-1,\quad y_2=4.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\lg x+1=-1 \Rightarrow \lg x=-2 \Rightarrow x=10^{-2}=\frac{1}{100},$$
$$\lg x+1=4 \Rightarrow \lg x=3 \Rightarrow x=10^3=1000.$$
$$\log_2 \frac{x}{4}=\frac{15}{\log_2 \frac{x}{8}-1}.$$
Преобразуем логарифмы:
$$\log_2 \frac{x}{4}=\log_2 x-2,\qquad \log_2 \frac{x}{8}=\log_2 x-3.$$
Обозначим $$y=\log_2 x.$$ Тогда
$$y-2=\frac{15}{y-4}.$$
Умножим на $$y-4$$:
$$ (y-2)(y-4)=15,$$
$$y^2-6y+8=15,$$
$$y^2-6y-7=0.$$
$$y_1=-1,\quad y_2=7.$$
Тогда
$$\log_2 x=-1 \Rightarrow x=\frac{1}{2},$$
$$\log_2 x=7 \Rightarrow x=128.$$
$$\frac{2\lg x}{\lg(5x-4)}=1.$$
ОДЗ: $$x>0,$$ $$5x-4>0 \Rightarrow x>\frac45,$$ а также $$\lg(5x-4)\ne 0 \Rightarrow 5x-4\ne 1 \Rightarrow x\ne 1.$$
Так как $$2\lg x=\lg x^2,$$ получаем
$$\lg x^2=\lg(5x-4).$$
Следовательно,
$$x^2=5x-4,$$
$$x^2-5x+4=0,$$
$$x_1=4,\quad x_2=1.$$
Число $$x=1$$ не подходит по ОДЗ, значит
$$x=4.$$
$$\frac{1}{\lg x-6}+\frac{5}{\lg x+2}=1.$$
ОДЗ: $$\lg x\ne 6,$$ $$\lg x\ne -2.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{\lg x+2+5\lg x-30-(\lg x-6)(\lg x+2)}{(\lg x-6)(\lg x+2)}=0.$$
Числитель равен нулю:
$$\lg x+2+5\lg x-30-(\lg x-6)(\lg x+2)=0,$$
$$6\lg x-28-\bigl((\lg x)^2-4\lg x-12\bigr)=0,$$
$$(\lg x)^2-10\lg x+16=0.$$
Пусть $$y=\lg x$$. Тогда
$$y^2-10y+16=0,$$
$$y_1=2,\quad y_2=8.$$
Следовательно,
$$\lg x=2 \Rightarrow x=100,$$
$$\lg x=8 \Rightarrow x=10^8.$$
Ответ
а) $$\frac{1}{100}$$ и $$1000$$; б) $$\frac{1}{2}$$ и $$128$$; в) $$4$$; г) $$100$$ и $$10^8$$.
