Упр.521 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а)

   $$\lg x+\lg y=1 \Rightarrow \lg(xy)=1 \Rightarrow xy=10.$$
   Тогда система принимает вид
   $$ \begin{cases} x+y=7,\\ xy=10. \end{cases} $$
   Выразим $$y=7-x$$ и подставим:
   $$ x(7-x)=10, $$
   $$ x^2-7x+10=0, $$
   $$ (x-2)(x-5)=0. $$
   Значит, $$x=2$$ или $$x=5$$. Тогда
   $$ y=5 \text{ или } y=2. $$

2. б)

   $$\log_4(x+y)=2 \Rightarrow x+y=4^2=16.$$
   Второе уравнение:
   $$ \log_3 x+\log_3 y=2+\log_3 7 $$
   $$ \log_3(xy)=\log_3 9+\log_3 7=\log_3 63, $$
   значит,
   $$ xy=63. $$
   Получаем систему
   $$ \begin{cases} x+y=16,\\ xy=63. \end{cases} $$
   Тогда $$y=16-x$$ и
   $$ x(16-x)=63, $$
   $$ x^2-16x+63=0, $$
   $$ (x-7)(x-9)=0. $$
   Следовательно, $$x=7$$ или $$x=9$$, а тогда $$y=9$$ или $$y=7$$.

3. в)

   $$\log_2 x+\log_2 y=6 \Rightarrow \log_2(xy)=6 \Rightarrow xy=64.$$
   Тогда
   $$ \begin{cases} x+y=34,\\ xy=64. \end{cases} $$
   Выразим $$y=34-x$$:
   $$ x(34-x)=64, $$
   $$ x^2-34x+64=0, $$
   $$ (x-2)(x-32)=0. $$
   Значит, $$x=2$$ или $$x=32$$, а соответственно $$y=32$$ или $$y=2$$.

4. г)

   $$\log_4 x-\log_4 y=0 \Rightarrow \log_4\frac{x}{y}=0 \Rightarrow \frac{x}{y}=1,$$
   значит, $$x=y$$.
   Подставим во второе уравнение:
   $$ x^2-5y^2+4=0 \Rightarrow x^2-5x^2+4=0, $$
   $$ -4x^2+4=0, $$
   $$ x^2=1. $$
   С учётом области определения $$x>0$$, $$y>0$$ получаем $$x=1$$, $$y=1$$.

Ответ

а) $$(2;5),\ (5;2)$$;
б) $$(7;9),\ (9;7)$$;
в) $$(2;32),\ (32;2)$$;
г) $$(1;1)$$.