Упр.52 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=f(x)+1; б) y=f(x+1); в) y=2f(x);
г) y=f(2x); д) y=f(-x); е) y=-f(x);
ж) y=|f(x)|; з) y=f(|x|); и) y=f(1-x);
к) y=f(1-|x|); л) y=f(vx); м) y=f(x^2).

Область определения исходной функции: $$D_f=[-1;2].$$

1. а) $$y=f(x)+1.$$

   Прибавление числа к значению функции не меняет область определения, поэтому

   $$D=[-1;2].$$

2. б) $$y=f(x+1).$$

   Нужно, чтобы $$x+1\in[-1;2].$$ Тогда

   $$ -1\le x+1\le 2 \\ -2\le x\le 1 $$

   Значит, $$D=[-2;1].$$

3. в) $$y=2f(x).$$

   Умножение на число область определения не меняет:

   $$D=[-1;2].$$

4. г) $$y=f(2x).$$

   Требуется, чтобы $$2x\in[-1;2].$$ Тогда

   $$ -1\le 2x\le 2 \\ -\frac12\le x\le 1 $$

   Следовательно, $$D=\left[-\frac12;1\right].$$

5. д) $$y=f(-x).$$

   Нужно, чтобы $$-x\in[-1;2].$$ Тогда

   $$ -1\le -x\le 2 \\ -2\le x\le 1 $$

   Значит, $$D=[-2;1].$$

6. е) $$y=-f(x).$$

   Знак перед функцией область определения не меняет:

   $$D=[-1;2].$$

7. ж) $$y=|f(x)|.$$

   Модуль значения функции также не меняет область определения:

   $$D=[-1;2].$$

8. з) $$y=f(|x|).$$

   Нужно, чтобы $$|x|\in[-1;2].$$ Так как $$|x|\ge 0,$$ достаточно условия

   $$0\le |x|\le 2.$$

   Отсюда

   $$-2\le x\le 2.$$

   Следовательно, $$D=[-2;2].$$

9. и) $$y=f(1-x).$$

   Требуется, чтобы $$1-x\in[-1;2].$$ Тогда

   $$ -1\le 1-x\le 2 \\ -2\le -x\le 1 \\ -1\le x\le 2 $$

   Значит, $$D=[-1;2].$$

10. к) $$y=f(1-|x|).$$

    Нужно, чтобы $$1-|x|\in[-1;2].$$ Тогда

    $$ -1\le 1-|x|\le 2 \\ -2\le -|x|\le 1 $$

    Так как $$-|x|\le 0,$$ из правой части получаем только условие

    $$|x|\le 2.$$

    Следовательно,

    $$-2\le x\le 2,$$

    то есть $$D=[-2;2].$$

11. л) $$y=f(\sqrt{x}).$$

    Нужно, чтобы $$\sqrt{x}\in[-1;2].$$ Но $$\sqrt{x}\ge 0,$$ значит достаточно

    $$0\le \sqrt{x}\le 2.$$

    Тогда

    $$0\le x\le 4.$$

    Следовательно, $$D=[0;4].$$

12. м) $$y=f(x^2).$$

    Требуется, чтобы $$x^2\in[-1;2].$$ Так как $$x^2\ge 0,$$ получаем

    $$0\le x^2\le 2.$$

    Отсюда

    $$-\sqrt2\le x\le \sqrt2.$$

    Значит, $$D=[-\sqrt2;\sqrt2].$$

Ответ

а) $$[-1;2]$$; б) $$[-2;1]$$; в) $$[-1;2]$$; г) $$\left[-\frac12;1\right]$$; д) $$[-2;1]$$; е) $$[-1;2]$$; ж) $$[-1;2]$$; з) $$[-2;2]$$; и) $$[-1;2]$$; к) $$[-2;2]$$; л) $$[0;4]$$; м) $$[-\sqrt2;\sqrt2]$$.