Упр.519 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$\frac12\log_2(x-4)+\frac12\log_2(2x-1)=\log_2 3$$

   ОДЗ: $$x-4>0,\quad 2x-1>0,$$ значит $$x>4.$$

   Умножим уравнение на $$2$$:

   $$\log_2(x-4)+\log_2(2x-1)=\log_2 9$$

   $$\log_2\bigl((x-4)(2x-1)\bigr)=\log_2 9$$

   Тогда

   $$ (x-4)(2x-1)=9 $$

   $$2x^2-9x+4=9$$

   $$2x^2-9x-5=0$$

   $$x_1=5,\quad x_2=-\frac12$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=5.$$

2. $$\lg(3x^2+12x+19)-\lg(3x+4)=1$$

   ОДЗ: $$3x+4>0,$$ то есть $$x>-\frac43.$$

   Используем свойства логарифмов:

   $$\lg\frac{3x^2+12x+19}{3x+4}=1$$

   $$\frac{3x^2+12x+19}{3x+4}=10$$

   $$3x^2+12x+19=30x+40$$

   $$3x^2-18x-21=0$$

   $$x^2-6x-7=0$$

   $$x_1=7,\quad x_2=-1$$

   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

3. $$\lg(x^2+2x-7)-\lg(x-1)=0$$

   ОДЗ:

   $$x^2+2x-7>0,\quad x-1>0$$

   Из второго неравенства получаем $$x>1.$$

   Преобразуем уравнение:

   $$\lg\frac{x^2+2x-7}{x-1}=0$$

   $$\frac{x^2+2x-7}{x-1}=1$$

   $$x^2+2x-7=x-1$$

   $$x^2+x-6=0$$

   $$x_1=-3,\quad x_2=2$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=2.$$

4. $$\log_5(x^2+8)-\log_5(x+1)=3\log_5 2$$

   ОДЗ: $$x^2+8>0,\quad x+1>0,$$ значит $$x>-1.$$

   Используем свойства логарифмов:

   $$\log_5\frac{x^2+8}{x+1}=\log_5 2^3$$

   $$\frac{x^2+8}{x+1}=8$$

   $$x^2+8=8x+8$$

   $$x^2-8x=0$$

   $$x(x-8)=0$$

   $$x_1=0,\quad x_2=8$$

   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

а) $$x=5$$; б) $$x=7,\,-1$$; в) $$x=2$$; г) $$x=0,\;8$$.