Упр.518 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\log_a x=2\log_a 3+\log_a 5$$

   По свойствам логарифмов:

   $$2\log_a 3=\log_a 3^2=\log_a 9,$$

   тогда

   $$\log_a x=\log_a 9+\log_a 5=\log_a 45.$$

   Следовательно, $$x=45.$$

2. $$\lg(x-9)+\lg(2x-1)=2$$

   ОДЗ:

   $$x-9>0,\quad 2x-1>0,$$

   откуда $$x>9.$$

   Сложим логарифмы:

   $$\lg\bigl((x-9)(2x-1)\bigr)=2=\lg 100.$$

   Тогда

   $$ (x-9)(2x-1)=100.$$

   Раскроем скобки:

   $$2x^2-19x+9=100,$$

   $$2x^2-19x-91=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=19^2-4\cdot 2\cdot(-91)=361+728=1089,$$

   $$\sqrt{D}=33,$$

   $$x_{1,2}=\frac{19\pm 33}{4}.$$

   Получаем:

   $$x_1=13,\quad x_2=-\frac{7}{2}.$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=13.$$

3. $$\log_a x=\log_a 10-\log_a 2$$

   По свойствам логарифмов:

   $$\log_a 10-\log_a 2=\log_a \frac{10}{2}=\log_a 5.$$

   Значит,

   $$\log_a x=\log_a 5,$$

   откуда $$x=5.$$

4. $$\log_3(x+1)+\log_3(x+3)=1$$

   ОДЗ:

   $$x+1>0,\quad x+3>0,$$

   то есть $$x>-1.$$

   Сложим логарифмы:

   $$\log_3\bigl((x+1)(x+3)\bigr)=1=\log_3 3.$$

   Тогда

   $$ (x+1)(x+3)=3.$$

   Раскроем скобки:

   $$x^2+4x+3=3,$$

   $$x^2+4x=0,$$

   $$x(x+4)=0.$$

   Отсюда

   $$x_1=0,\quad x_2=-4.$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=0.$$

Ответ

а) $$45$$; б) $$13$$; в) $$5$$; г) $$0$$.