Упр.50 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 1+11+…+{111…1}-n единиц; б) x+2x^2+3x^3+…+nx^n;
в) 1/(k(k+1))+1/((k+1)(k+2))+…+1/((k+n-1)(k+n));
г) sin(x)+sin(2x)+…+sin(nx).

а) Обозначим сумму через $$S.$$ Тогда

$$ S=1+11+\dots+\underbrace{11\dots1}_{n\ \text{единиц}}. $$

Умножим каждое слагаемое на $$9$$:

$$ 9S=9+99+\dots+\underbrace{99\dots9}_{n\ \text{девяток}}. $$

Тогда

$$ 9S=(10+100+\dots+10^n)-n. $$

Сумма геометрической прогрессии:

$$ 10+100+\dots+10^n=\frac{10(10^n-1)}{10-1}. $$

Следовательно,

$$ 9S=\frac{10(10^n-1)}{9}-n, $$
$$ S=\frac{10^{n+1}-10-9n}{81}. $$

б) Пусть

$$ S=x+2x^2+3x^3+\dots+nx^n. $$

Тогда

$$ xS=x^2+2x^3+\dots+(n-1)x^n+nx^{n+1}. $$

Вычтем:

$$ S-xS=x+x^2+\dots+x^n-nx^{n+1}. $$

Сумма геометрической прогрессии:

$$ x+x^2+\dots+x^n=\frac{x(x^n-1)}{x-1}. $$

Значит,

$$ S(1-x)=\frac{x(x^n-1)}{x-1}-nx^{n+1}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ S(1-x)=\frac{x^{n+1}-x-nx^{n+2}+nx^{n+1}}{x-1} =\frac{x\bigl(x^n-1-nx^{n+1}+nx^n\bigr)}{x-1}. $$

После упрощения получаем

$$ S=\frac{x\bigl(nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\bigr)}{(x-1)^2}. $$

в) Разложим каждую дробь на разность:

$$ \frac{1}{(k+i)(k+i+1)}=\frac{1}{k+i}-\frac{1}{k+i+1}. $$

Тогда

$$ \frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}+\dots+\frac{1}{(k+n-1)(k+n)} $$
$$ =\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)+\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)+\dots+\left(\frac{1}{k+n-1}-\frac{1}{k+n}\right). $$

Сокращая, получаем

$$ S=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+n}. $$

г) Используем формулу

$$ 2\sin a\sin b=\cos(a-b)-\cos(a+b). $$

Тогда

$$ 2\sin\frac{x}{2}\bigl(\sin x+\sin2x+\dots+\sin nx\bigr) $$
$$ =\bigl(\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{3x}{2}\bigr)+\bigl(\cos\frac{3x}{2}-\cos\frac{5x}{2}\bigr)+\dots+\bigl(\cos\frac{(2n-1)x}{2}-\cos\frac{(2n+1)x}{2}\bigr). $$

После сокращения остаётся

$$ 2\sin\frac{x}{2}\bigl(\sin x+\sin2x+\dots+\sin nx\bigr) =\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{(2n+1)x}{2}. $$

По формуле разности косинусов:

$$ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}, $$

получаем

$$ \sin x+\sin2x+\dots+\sin nx =\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}\sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}. $$

Ответ

$$ \text{а) } \frac{10^{n+1}-10-9n}{81};\qquad \text{б) } \frac{x\bigl(nx^{n+1}-(n+1)x^n+1\bigr)}{(x-1)^2}; $$
$$ \text{в) } \frac{1}{k}-\frac{1}{k+n};\qquad \text{г) } \frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}\sin\frac{nx}{2}}{\sin\frac{x}{2}}. $$