Упр.50 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) (x-1)/(x+x^(1/2)+1):(x^0,5+1)/(x^1,5-1)+2/x^(-0,5);
б) (a^(1/2)b^(1/2)-ab/(a+a^(1/2)b^(1/2))):((ab)^(1/4)-b^(1/2))/(a-b);
в) ((2x+x^(1/2)y^(1/2))/(3x))^(-1)·((x^(3/2)-y^(3/2))/(x-x^(1/2)y^(1/2))-(x-y)/(x^(1/2)+y^(1/2)));
г) ((1-c^(-2))/(c^(1/2)-c^(-1/2))-2c^(1/2)/c^2+(c^(-2)-c)/(c^(1/2)-c^(-1/2)))·(1+2/c^2)^(-2).

Подробный ответ

а) Обозначим $$x^{0,5}=\sqrt{x}.$$ Тогда
$$ \frac{x-1}{x+\sqrt{x}+1}:\frac{\sqrt{x}+1}{x^{1,5}-1}+\frac{2}{x^{-0,5}} = \frac{x-1}{x+\sqrt{x}+1}\cdot\frac{x^{1,5}-1}{\sqrt{x}+1}+2\sqrt{x}. $$
Разложим $$x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$$ и $$x^{1,5}-1=(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$$:
$$ \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1}\cdot \frac{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1}+2\sqrt{x} = (\sqrt{x}-1)^2+2\sqrt{x}. $$
$$ (\sqrt{x}-1)^2+2\sqrt{x}=x-2\sqrt{x}+1+2\sqrt{x}=x+1. $$
б) Пусть $$a^{1/2}b^{1/2}=\sqrt{ab},\quad (ab)^{1/4}=\sqrt[4]{ab}.$$ Тогда
$$ \left(\sqrt{ab}-\frac{ab}{a+\sqrt{ab}}\right):\frac{\sqrt[4]{ab}-\sqrt{b}}{a-b}. $$
Преобразуем первую скобку:
$$ \sqrt{ab}-\frac{ab}{a+\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{ab}(a+\sqrt{ab})-ab}{a+\sqrt{ab}} = \frac{a\sqrt{ab}+ab-ab}{a+\sqrt{ab}} = \frac{a\sqrt{ab}}{a+\sqrt{ab}}. $$
Деление заменим умножением на обратную дробь:
$$ \frac{a\sqrt{ab}}{a+\sqrt{ab}}\cdot\frac{a-b}{\sqrt[4]{ab}-\sqrt{b}}. $$
Используем разложение $$a-b=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$ и представим
$$ a+\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,(\sqrt{a}+\sqrt{b}),\qquad \sqrt[4]{ab}-\sqrt{b}=\sqrt[4]{b}\,(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}). $$
После сокращения получаем
$$ a\sqrt[4]{b}\,(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}). $$
в) Преобразуем выражение:
$$ \left(\frac{2x+\sqrt{x}\sqrt{y}}{3x}\right)^{-1} \cdot \left( \frac{x^{3/2}-y^{3/2}}{x-\sqrt{x}\sqrt{y}} — \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \right). $$
Первый множитель:
$$ \left(\frac{2x+\sqrt{x}\sqrt{y}}{3x}\right)^{-1} = \frac{3x}{2x+\sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}. $$
Во второй скобке вынесем множители:
$$ x^{3/2}-y^{3/2}=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{x}\sqrt{y}+y), $$
$$ x-\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y}), $$
$$ x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}). $$
Тогда
$$ \frac{x^{3/2}-y^{3/2}}{x-\sqrt{x}\sqrt{y}} — \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{x+\sqrt{x}\sqrt{y}+y}{\sqrt{x}} — (\sqrt{x}-\sqrt{y}). $$
Приведём к общему виду:
$$ \frac{x+\sqrt{x}\sqrt{y}+y-\;x+\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}\sqrt{y}+y}{\sqrt{x}} = \sqrt{y}\,(2\sqrt{x}+\sqrt{y}). $$
Теперь всё выражение равно
$$ \frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot \sqrt{y}\,(2\sqrt{x}+\sqrt{y}) = 3\sqrt{xy}. $$
г) Упростим:
$$ \left( \frac{1-c^{-2}}{c^{1/2}-c^{-1/2}} -\frac{2c^{1/2}}{c^2} +\frac{c^{-2}-c}{c^{1/2}-c^{-1/2}} \right)\cdot\left(1+\frac{2}{c^2}\right)^{-2}. $$
Сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$$ \frac{1-c^{-2}+c^{-2}-c}{c^{1/2}-c^{-1/2}}-\frac{2}{c^{3/2}} = \frac{1-c}{c^{1/2}-c^{-1/2}}-\frac{2}{c^{3/2}}. $$
Так как
$$ c^{1/2}-c^{-1/2}=\frac{c-1}{c^{1/2}}, $$
то
$$ \frac{1-c}{c^{1/2}-c^{-1/2}} = \frac{-(c-1)}{(c-1)/c^{1/2}} = -c^{1/2}. $$
Тогда первая скобка равна
$$ -c^{1/2}-\frac{2}{c^{3/2}} = -\frac{c^2+2}{c^{3/2}}. $$
Вторая скобка:
$$ \left(1+\frac{2}{c^2}\right)^{-2} = \left(\frac{c^2+2}{c^2}\right)^{-2} = \frac{c^4}{(c^2+2)^2}. $$
Перемножаем:
$$ -\frac{c^2+2}{c^{3/2}}\cdot \frac{c^4}{(c^2+2)^2} = -\frac{c^{5/2}}{c^2+2}. $$