Упр.5 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

б) Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами равняться 23?
в) Длины всех сторон прямоугольного треугольника — целые. Могут ли длины катетов быть нечетными числами?
г) В десятичной записи 12-значного числа N цифры 2 и 9 встречаются по 2 раза, а остальные — по одному разу. Может ли N быть точным квадратом?

1. а) Пусть число имеет вид $$a=3k,\,3k+1 \text{ или } 3k+2.$$ Тогда

   $$ (3k)^2=9k^2, $$
   $$ (3k+1)^2=9k^2+6k+1, $$
   $$ (3k+2)^2=9k^2+12k+4. $$

   Значит, при делении на $$3$$ точный квадрат может давать только остатки $$0$$ и $$1$$.

   Аналогично, если $$a=4k,\,4k+1,\,4k+2,\,4k+3,$$ то

   $$ (4k)^2=16k^2, $$
   $$ (4k+1)^2=16k^2+8k+1, $$
   $$ (4k+2)^2=16k^2+16k+4, $$
   $$ (4k+3)^2=16k^2+24k+9. $$

   Следовательно, при делении на $$4$$ точный квадрат может давать остатки $$0$$ и $$1$$.

2. б) Дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами имеет вид

   $$D=b^2-4ac.$$

   Если бы $$D=23,$$ то

   $$b^2-4ac=23.$$

   Но число $$b^2$$ при целом $$b$$ может давать при делении на $$4$$ только остатки $$0$$ или $$1,$$ а число $$23$$ при делении на $$4$$ даёт остаток $$3.$$ Значит, равенство невозможно.

3. в) Пусть катеты прямоугольного треугольника — нечётные целые числа:

   $$a=2k+1,\quad b=2m+1.$$

   Тогда

   $$a^2=4k(k+1)+1,$$
   $$b^2=4m(m+1)+1.$$

   Следовательно, $$a^2 \equiv 1 \pmod 4$$ и $$b^2 \equiv 1 \pmod 4,$$ значит

   $$a^2+b^2 \equiv 2 \pmod 4.$$

   Но квадрат целого числа не может давать остаток $$2$$ при делении на $$4.$$ Противоречие. Значит, оба катета не могут быть нечётными.

4. г) Сумма цифр числа $$N$$ равна

   $$S=0+1+2+\dots+9+2+9=45+11=56.$$

   Число $$56$$ делится на $$4$$, значит и сумма цифр числа $$N$$ делится на $$4.$$ Следовательно, $$N \equiv 0 \pmod 4.$$

   Но точный квадрат, оканчивающийся на $$0,$$ должен делиться на $$4$$ и иметь чётное число нулей на конце; здесь это не даёт противоречия. Проверим по модулю $$3$$:

   $$56=3\cdot 18+2,$$
   значит $$N \equiv 2 \pmod 3.$$

   Однако квадрат целого числа при делении на $$3$$ может давать только остатки $$0$$ или $$1.$$ Поэтому $$N$$ не может быть точным квадратом.

Ответ

а) $$0$$ и $$1$$; б) нет; в) нет; г) нет.