Упр.5 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

б) Решите неравенство a^x > a^c (рассмотрите два случая: 0 < a < 1 и a > 1).
2) Решите уравнение:
а) 27^x=9^(1/5); б) 9^(x+1)+3^(x+2)=18;
в) 0,5^(x^2+x-2,5)=v2; г) 3^(x+2)-3^x=72.
3) Решите неравенство:
а) 5^(x^2-1) > 1/5; б) 0,2^(x^2-2) > 5;
в) 3^x < 1/9; г) (1/2)^(x+1) > 4.

1. Если $$a>0$$ и $$a\ne 1$$, то показательная функция $$a^x$$ строго монотонна.

   а) Из равенства $$a^x=a^c$$ получаем $$x=c$$.

   б) Для неравенства $$a^x>a^c$$:

   • при $$a>1$$ получаем $$x>c$$;
   • при $$0<a<1$$ получаем $$x<c$$.

2. Решим уравнения.

   а) $$27^x=9^{\frac15}$$

   $$3^{3x}=3^{\frac25}$$
   $$3x=\frac25$$
   $$x=\frac{2}{15}$$

   б) $$9^{x+1}+3^{x+2}=18$$

   $$9\cdot 3^{2x}+9\cdot 3^x-18=0$$
   $$3^{2x}+3^x-2=0$$

   Обозначим $$t=3^x$$, тогда

   $$t^2+t-2=0$$
   $$(t-1)(t+2)=0$$

   Так как $$t=3^x>0$$, то $$t=1$$. Значит, $$3^x=1$$, откуда $$x=0$$.

   в) $$0{,}5^{x^2+x-2{,}5}=\sqrt{2}$$

   $$2^{-x^2-x+2{,}5}=2^{0{,}5}$$
   $$-x^2-x+2{,}5=0{,}5$$
   $$x^2+x-2=0$$
   $$(x+2)(x-1)=0$$

   Следовательно, $$x=-2$$ или $$x=1$$.

   г) $$3^{x+2}-3^x=72$$

   $$9\cdot 3^x-3^x=72$$
   $$8\cdot 3^x=72$$
   $$3^x=9=3^2$$
   $$x=2$$

3. Решим неравенства.

   а) $$5^{x^2-1}>\frac15$$

   $$5^{x^2-1}>5^{-1}$$
   $$x^2-1>-1$$
   $$x^2>0$$
   $$x\ne 0$$

   Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.

   б) $$0{,}2^{x^2-2}>5$$

   $$5^{2-x^2}>5$$
   $$2-x^2>1$$
   $$x^2-1<0$$
   $$(x+1)(x-1)<0$$
   $$-1<x<1$$

   Ответ: $$(-1;1)$$.

   в) $$3^x<\frac19$$

   $$3^x<3^{-2}$$
   $$x<-2$$

   Ответ: $$(-\infty;-2)$$.

   г) $$\left(\frac12\right)^{x+1}>4$$

   $$2^{-x-1}>2^2$$
   $$-x-1>2$$
   $$-x>3$$
   $$x<-3$$

   Ответ: $$(-\infty;-3)$$.

Ответ

1) а) $$x=c$$; б) при $$a>1$$ — $$x>c$$, при $$0<a<1$$ — $$x<c$$.

2) а) $$\frac{2}{15}$$; б) $$0$$; в) $$-2,\,1$$; г) $$2$$.

3) а) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; б) $$(-1;1)$$; в) $$(-\infty;-2)$$; г) $$(-\infty;-3)$$.