Упр.5 Глава 3 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Запишите формулу Ньютона — Лейбница. Вычислите интеграл:
а) (-3; 3)?dx/(x+10)^2; б) (1; 2)?dx/vx;
в) (?/3; ?)?sin(x)dx; г) (0; 3)?x^2 dx.
3) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y=x^2, y=3x; б) y=x^2-4x+6, y=1, x=1, x=3;
в) y=4-x^2, y=3; г) y=cos(x), y=1, x=-?/2, x=?/2.

1) Интеграл функции на отрезке $$[a;b]$$ — это предел интегральных сумм, а для первообразной $$F(x)$$ выполняется формула

$$\int\limits_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

2) Вычислим интегралы.

а)

$$\int\limits_{-3}^{3}\frac{dx}{(x+10)^2}=\left(-\frac{1}{x+10}\right)\Bigg|_{-3}^{3}=-\frac{1}{13}+\frac{1}{7}=\frac{6}{91}.$$

б)

$$\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\int\limits_{1}^{2}x^{-1/2}\,dx=2\sqrt{x}\Bigg|_{1}^{2}=2\sqrt{2}-2.$$

в)

$$\int\limits_{\pi/3}^{\pi}\sin x\,dx=\left(-\cos x\right)\Bigg|_{\pi/3}^{\pi}=-\cos\pi+\cos\frac{\pi}{3}=1+\frac12=\frac32.$$

г)

$$\int\limits_{0}^{3}x^2\,dx=\frac{x^3}{3}\Bigg|_{0}^{3}=\frac{27}{3}=9.$$

3) Найдём площади фигур.

а) Точки пересечения графиков $$y=x^2$$ и $$y=3x$$: $$x^2=3x$$, откуда $$x=0$$ и $$x=3$$.

Тогда

$$S=\int\limits_{0}^{3}(3x-x^2)\,dx=\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{3}=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}.$$

б) На отрезке $$[1;3]$$ верхняя граница — график $$y=x^2-4x+6$$, нижняя — прямая $$y=1$$.

$$S=\int\limits_{1}^{3}\bigl((x^2-4x+6)-1\bigr)\,dx=\int\limits_{1}^{3}(x^2-4x+5)\,dx.$$

$$S=\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+5x\right)\Bigg|_{1}^{3}= \left(9-18+15\right)-\left(\frac13-2+5\right)=\frac{8}{3}.$$

в) Точки пересечения $$y=4-x^2$$ и $$y=3$$: $$4-x^2=3$$, значит $$x=\pm1$$.

$$S=\int\limits_{-1}^{1}\bigl((4-x^2)-3\bigr)\,dx=\int\limits_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx.$$

$$S=\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{1}=\left(1-\frac13\right)-\left(-1+\frac13\right)=\frac{4}{3}.$$

г) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ верхняя граница — $$y=1$$, нижняя — $$y=\cos x$$.

$$S=\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}(1-\cos x)\,dx=\left(x-\sin x\right)\Bigg|_{-\pi/2}^{\pi/2}=\pi-2.$$

Ответ

1) $$\int\limits_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

2) а) $$\frac{6}{91}$$; б) $$2\sqrt{2}-2$$; в) $$\frac{3}{2}$$; г) $$9$$.

3) а) $$\frac{9}{2}$$; б) $$\frac{8}{3}$$; в) $$\frac{4}{3}$$; г) $$\pi-2$$.