Упр.5 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
2) В чем состоит геометрический смысл производной?
3) Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке (x_0; f(x_0)):
а) f(x)=cos(x), x_0=2?/3; б) f(x)=1/x, x_0=2.
в) f(x)=sin(x), x_0=?; г) f(x)=x62, x_0=-1/2.
1) Касательной к графику функции $$f$$ в точке $$\left(x_0; f(x_0)\right)$$ называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая угловой коэффициент $$k=f'(x_0)$$.
2) Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке.
3) Уравнение касательной к графику функции $$f$$ в точке $$\left(x_0; f(x_0)\right)$$ имеет вид
$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$
$$f(x)=\cos x,\quad x_0=\frac{2\pi}{3}$$
$$f\left(x_0\right)=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$
$$f’\left(x_0\right)=-\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$
Тогда
$$y=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac{2\pi}{3}\right).$$
$$f(x)=\frac1x,\quad x_0=2$$
$$f\left(x_0\right)=\frac12,\qquad f’\left(x_0\right)=-\frac1{x^2}\Bigg|_{x=2}=-\frac14.$$
Тогда
$$y=\frac12-\frac14(x-2)=-\frac14x+1.$$
$$f(x)=\sin x,\quad x_0=\pi$$
$$f\left(x_0\right)=\sin\pi=0,\qquad f’\left(x_0\right)=\cos\pi=-1.$$
Тогда
$$y=0-1\cdot(x-\pi)=-x+\pi.$$
$$f(x)=x^2,\quad x_0=-\frac12$$
$$f\left(x_0\right)=\left(-\frac12\right)^2=\frac14,\qquad f’\left(x_0\right)=2x\Bigg|_{x=-\frac12}=-1.$$
Тогда
$$y=\frac14-1\cdot\left(x+\frac12\right)=-x-\frac14.$$
Ответ
1) Касательная — прямая, проходящая через точку касания и имеющая угловой коэффициент $$f'(x_0)$$.
2) $$f'(x_0)$$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке $$x_0$$.
3) а) $$y=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)$$; б) $$y=-\frac14x+1$$; в) $$y=-x+\pi$$; г) $$y=-x-\frac14$$.
