Упр.49 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 49. Члены арифметической (a_n) и геометрической (b_n) прогрессий удовлетворяют условиям a_40=b_40 > 0, a_60=b_60 > 0. Что больше: a_50 или b_50? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolmogor10-11 zadachi/49 1023

Обозначим

$$a=a_{40}=b_{40}, \qquad b=a_{60}=b_{60}, \qquad a>0,\ b>0.$$

Для арифметической прогрессии

$$a_{50}=\frac{a_{40}+a_{60}}{2}=\frac{a+b}{2}.$$

Для геометрической прогрессии

$$b_{50}=\sqrt{b_{40}b_{60}}=\sqrt{ab}.$$

Сравним эти величины:

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$$

по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим. Значит,

$$a_{50}\ge b_{50}.$$

Равенство возможно только при $$a=b$$, то есть когда $$a_{40}=a_{60}$$.

Ответ

$$a_{50}\ge b_{50}.$$