Упр.474 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$\pi^x-\pi^{2x}\ge 0$$
   
   $$\pi^x-(\pi^x)^2\ge 0$$
   
   $$\pi^x(1-\pi^x)\ge 0$$
   
   Так как $$\pi^x>0$$ при любом $$x$$, то
   
   $$1-\pi^x\ge 0,$$
   
   $$\pi^x\le 1=\pi^0.$$
   
   Так как основание $$\pi>1$$, получаем
   
   $$x\le 0.$$
2. $$\left(\frac13\right)^{2x-1}-10\cdot 3^{-x}+3<0$$
   
   $$3^{1-2x}-10\cdot 3^{-x}+3<0$$
   
   Введём замену $$t=3^{-x},\ t>0.$$ Тогда
   
   $$3t^2-10t+3<0.$$
   
   Найдём корни:
   
   $$D=100-36=64,$$
   
   $$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6},\quad t_1=\frac13,\ t_2=3.$$
   
   Тогда
   
   $$\frac13<t<3.$$
   
   Возвращаемся к переменной $$x$$:
   
   $$\frac13<3^{-x}<3.$$
   
   Так как $$3>1$$, получаем
   
   $$-1<-x<1,$$
   
   $$-1<x<1.$$
3. $$4^x-2^{x+1}-8>0$$
   
   $$\left(2^x\right)^2-2\cdot 2^x-8>0$$
   
   Введём замену $$t=2^x,\ t>0.$$ Тогда
   
   $$t^2-2t-8>0.$$
   
   $$\left(t-4\right)\left(t+2\right)>0.$$
   
   С учётом $$t>0$$ получаем
   
   $$t>4.$$
   
   Значит,
   
   $$2^x>2^2,$$
   
   откуда
   
   $$x>2.$$
4. $$\left(\frac1{36}\right)^x-5\cdot 6^{-x}-6\le 0$$
   
   $$\left(6^{-2}\right)^x-5\cdot 6^{-x}-6\le 0$$
   
   $$\left(6^{-x}\right)^2-5\cdot 6^{-x}-6\le 0$$
   
   Введём замену $$t=6^{-x},\ t>0.$$ Тогда
   
   $$t^2-5t-6\le 0.$$
   
   $$\left(t-6\right)\left(t+1\right)\le 0.$$
   
   С учётом $$t>0$$ получаем
   
   $$0<t\le 6.$$
   
   Значит,
   
   $$6^{-x}\le 6^1,$$
   
   откуда
   
   $$-x\le 1,$$
   
   $$x\ge -1.$$

Ответ

а) $$(-\infty;0]$$; б) $$(-1;1)$$; в) $$(2;+\infty)$$; г) $$[-1;+\infty)$$.