Упр.471 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а)
$$5^{x+y}=125=5^3,\qquad 4^{(x-y)^2-1}=1=4^0.$$
Тогда
$$ \begin{cases} x+y=3,\\ (x-y)^2-1=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+y=3,\\ x-y=1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x+y=3,\\ x-y=-1 \end{cases} $$
1)
$$ \begin{cases} x+y=3,\\ x-y=1 \end{cases} \Rightarrow 2x=4,\ x=2,\ y=1. $$
2)
$$ \begin{cases} x+y=3,\\ x-y=-1 \end{cases} \Rightarrow 2x=2,\ x=1,\ y=2. $$
Получаем: $$(2;1),\ (1;2).$$
б)
Из первого уравнения:
$$y=5-x.$$
Подставим во второе:
$$ 4^x+4^y=80 \Rightarrow 4^x+4^{5-x}=80. $$
Введём замену $$t=4^x>0.$$ Тогда
$$ t+\frac{4^5}{t}=80 \Rightarrow t+\frac{1024}{t}=80. $$
Умножим на $$t$$:
$$ t^2-80t+1024=0. $$
$$ D=80^2-4\cdot1024=2304,\qquad \sqrt D=48. $$
$$ t_{1,2}=\frac{80\pm48}{2}\Rightarrow t_1=64,\ t_2=16. $$
Тогда
$$ 4^x=64=4^3 \Rightarrow x=3,\ y=2; $$
$$ 4^x=16=4^2 \Rightarrow x=2,\ y=3. $$
Получаем: $$(3;2),\ (2;3).$$
в)
$$3^x+3^y=12,\qquad 6^{x+y}=216=6^3.$$
Значит,
$$ x+y=3. $$
Из второго уравнения:
$$ y=3-x. $$
Подставим в первое:
$$ 3^x+3^{3-x}=12. $$
Введём замену $$t=3^x>0.$$ Тогда
$$ t+\frac{27}{t}=12. $$
Умножим на $$t$$:
$$ t^2-12t+27=0. $$
$$ D=12^2-4\cdot27=36,\qquad \sqrt D=6. $$
$$ t_{1,2}=\frac{12\pm6}{2}\Rightarrow t_1=9,\ t_2=3. $$
Тогда
$$ 3^x=9=3^2 \Rightarrow x=2,\ y=1; $$
$$ 3^x=3=3^1 \Rightarrow x=1,\ y=2. $$
Получаем: $$(2;1),\ (1;2).$$
г)
$$4^{x+y}=128=2^7,\qquad 5^{3x-2y-3}=1=5^0.$$
Тогда
$$ 2(x+y)=7,\qquad 3x-2y-3=0. $$
То есть
$$ \begin{cases} 2x+2y=7,\\ 3x-2y=3. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ 5x=10 \Rightarrow x=2. $$
Подставим во второе:
$$ 3\cdot2-2y=3 \Rightarrow 6-2y=3 \Rightarrow 2y=3 \Rightarrow y=\frac32. $$
Получаем: $$(2;\tfrac32).$$