Упр.47 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 47. Известно, что суммы первых m и n членов арифметической прогрессии равны, т. е. S_m=S_n. Найдите S_(m+n). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolmogor10-11 zadachi/47 1023

Для арифметической прогрессии сумма первых $$k$$ членов равна

$$S_k=\frac{2a_1+d(k-1)}{2}\cdot k.$$

По условию $$S_m=S_n$$, значит

$$\frac{2a_1+d(m-1)}{2}\cdot m=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Умножим на 2 и раскроем скобки:

$$2a_1m+dm(m-1)=2a_1n+dn(n-1).$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2a_1(m-n)+d\bigl(m(m-1)-n(n-1)\bigr)=0.$$

Так как

$$m(m-1)-n(n-1)=(m-n)(m+n-1),$$

получаем

$$ (m-n)\bigl(2a_1+d(m+n-1)\bigr)=0.$$

При $$m\ne n$$ имеем

$$2a_1+d(m+n-1)=0.$$

Тогда

$$S_{m+n}=\frac{2a_1+d(m+n-1)}{2}\cdot (m+n)=0.$$

Ответ

$$0$$