Упр.45 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) (3/(2x-y)-2/(2x+y)-1/(2x-5y)):4y^2/(4x^2-y^2);
б) (3/(a-3)+4/(a^2-5a+6)+2a/(a-2)):(3/(2a+1))^(-1)-(a-12)/(3(3-a));
в) ((x^3-8)/(x-2)+2x)·(4-x^2)^(-1)-(x-1)/(2-x);
г) k^2/(3+k)·(9-k^2)/(k^2-3k)+(27+k^3)/(3-k):(3+k^2/(3-k)).

Подробный ответ

$$\left(\frac{3}{2x-y}-\frac{2}{2x+y}-\frac{1}{2x-5y}\right):\frac{4y^2}{4x^2-y^2}$$
Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:
$$\frac{3(2x+y)-2(2x-y)}{(2x-y)(2x+y)}-\frac{1}{2x-5y} =\frac{2x+5y}{(2x-y)(2x+y)}-\frac{1}{2x-5y}.$$
Тогда
$$\left(\frac{2x+5y}{(2x-y)(2x+y)}-\frac{1}{2x-5y}\right)\cdot \frac{(2x-y)(2x+y)}{4y^2}.$$
После приведения к общему знаменателю:
$$\frac{(2x+5y)(2x-5y)-(2x-y)(2x+y)}{(2x-5y)\cdot 4y^2}.$$
$$\frac{4x^2-25y^2-4x^2+y^2}{(2x-5y)\cdot 4y^2} =\frac{-24y^2}{4y^2(2x-5y)} =\frac{6}{5y-2x}.$$
$$\left(\frac{3}{a-3}+\frac{4}{a^2-5a+6}+\frac{2a}{a-2}\right):\left(\frac{3}{2a+1}\right)^{-1}-\frac{a-12}{3(3-a)}$$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$a^2-5a+6=(a-2)(a-3).$$
Тогда
$$\frac{3}{a-3}+\frac{4}{(a-2)(a-3)}+\frac{2a}{a-2} =\frac{3(a-2)+4+2a(a-3)}{(a-2)(a-3)}.$$
$$\frac{3a-6+4+2a^2-6a}{(a-2)(a-3)} =\frac{2a^2-3a-2}{(a-2)(a-3)} =\frac{(2a+1)(a-2)}{(a-2)(a-3)} =\frac{2a+1}{a-3}.$$
Учитывая, что
$$\left(\frac{3}{2a+1}\right)^{-1}=\frac{2a+1}{3},$$
получаем
$$\frac{2a+1}{a-3}\cdot \frac{3}{2a+1}-\frac{a-12}{3(3-a)} =\frac{3}{a-3}-\frac{a-12}{3(3-a)}.$$
Так как $$3-a=-(a-3),$$ то
$$-\frac{a-12}{3(3-a)}=\frac{a-12}{3(a-3)}.$$
Тогда
$$\frac{3}{a-3}+\frac{a-12}{3(a-3)} =\frac{9+a-12}{3(a-3)} =\frac{1}{3}.$$
$$\left(\frac{x^3-8}{x-2}+2x\right)\cdot (4-x^2)^{-1}-\frac{x-1}{2-x}$$
Разложим разность кубов:
$$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).$$
Тогда
$$\frac{x^3-8}{x-2}+2x=x^2+2x+4+2x=x^2+4x+4=(x+2)^2.$$
Кроме того,
$$4-x^2=(2-x)(2+x).$$
Значит,
$$\left(\frac{x^3-8}{x-2}+2x\right)\cdot (4-x^2)^{-1} =\frac{(x+2)^2}{(2-x)(2+x)}=\frac{x+2}{2-x}.$$
Тогда
$$\frac{x+2}{2-x}-\frac{x-1}{2-x} =\frac{x+2-x+1}{2-x} =\frac{3}{2-x}.$$
$$\frac{k^2}{3+k}\cdot \frac{9-k^2}{k^2-3k}+\frac{27+k^3}{3-k}:\left(3+\frac{k^2}{3-k}\right)$$
Разложим на множители:
$$9-k^2=(3-k)(3+k), \qquad k^2-3k=k(k-3), \qquad 27+k^3=(k+3)(k^2-3k+9).$$
Тогда
$$\frac{k^2}{3+k}\cdot \frac{(3-k)(3+k)}{k(k-3)} =\frac{k(3-k)}{k-3}=-k.$$
Вторую часть преобразуем:
$$3+\frac{k^2}{3-k}=\frac{3(3-k)+k^2}{3-k}=\frac{k^2-3k+9}{3-k}.$$
Поэтому
$$\frac{27+k^3}{3-k}:\left(3+\frac{k^2}{3-k}\right) =\frac{(k+3)(k^2-3k+9)}{3-k}\cdot \frac{3-k}{k^2-3k+9} =k+3.$$
Итак,
$$-k+(k+3)=3.$$