Упр.44 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 44. Найдите трехзначное число, если его цифры образуют геометрическую прогрессию, а цифры числа, меньшего данного на 400, — арифметическую. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolmogor10-11 zadachi/44 1023

Пусть цифры трёхзначного числа — $$a,\ b,\ c$$, где $$a$$ — сотни, $$b$$ — десятки, $$c$$ — единицы.

Тогда число, меньшее данного на $$400$$, имеет цифры $$a-4,\ b,\ c$$. По условию его цифры образуют арифметическую прогрессию, значит

$$2b=(a-4)+c,$$

откуда

$$b=\frac{a+c}{2}-2.$$

Так как цифры исходного числа образуют геометрическую прогрессию, то

$$b^2=ac.$$

Кроме того, $$a\neq 0$$, $$c\neq 0$$, а также $$a-4\ge 0$$, значит $$a\ge 4$$.

Из формулы для арифметической прогрессии получаем, что $$a+c$$ — чётное число. Так как $$b$$ — цифра, то возможны значения $$a+c=6,\ 8,\ 10$$.

1) Если $$a+c=6$$, то $$b=1$$ и $$ac=1$$. Тогда

$$a(6-a)=1,$$

что не даёт целых цифр.

2) Если $$a+c=8$$, то $$b=2$$ и $$ac=4$$. Тогда

$$a(8-a)=4,$$

откуда целых цифр также не получается.

3) Если $$a+c=10$$, то $$b=3$$ и $$ac=9$$. Тогда

$$a(10-a)=9,$$

$$a^2-10a+9=0,$$

$$D=100-36=64,$$

$$a=\frac{10\pm 8}{2}.$$

Получаем $$a=1$$ или $$a=9$$. Так как $$a\ge 4$$, то $$a=9$$, тогда $$c=1$$.

Следовательно, искомое число:

$$931.$$

Ответ

$$931$$