Упр.43 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 43. Сумма четырех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна -40, а сумма их квадратов равна 3280. Найдите эти числа.

Пусть четыре числа геометрической прогрессии равны $$b_1,\; b_1q,\; b_1q^2,\; b_1q^3.$$ Тогда по условию

$$ b_1(1+q+q^2+q^3)=-40, $$

$$ b_1^2(1+q^2+q^4+q^6)=3280. $$

Разделим второе уравнение на первое:

$$ \frac{b_1^2(1+q^2+q^4+q^6)}{b_1(1+q+q^2+q^3)}=-82. $$

Сократим и разложим на множители:

$$ \frac{b_1(1+q^2)(1+q^4)}{(1+q)(1+q^2)}=-82, $$

$$ \frac{b_1(q^4+1)}{q+1}=-82. $$

Теперь разделим это равенство на первое:

$$ \frac{b_1(q^4+1)}{b_1(1+q)(1+q^2)}=\frac{41}{20}. $$

Получаем

$$ 20(q^4+1)=41(1+2q+q^2)(1+q^2). $$

Раскроем скобки:

$$ 20q^4+20=41q^4+82q^3+82q^2+82q+41, $$

$$ 21q^4+82q^3+82q^2+82q+21=0. $$

Разделим на $$q^2$$:

$$ 21\left(q^2+\frac{1}{q^2}\right)+82\left(q+\frac{1}{q}\right)+82=0. $$

Обозначим $$y=q+\frac{1}{q}$$. Тогда

$$ q^2+\frac{1}{q^2}=y^2-2, $$

и получаем

$$ 21(y^2-2)+82y+82=0, $$

$$ 21y^2+82y+40=0. $$

$$ D=82^2-4\cdot 21\cdot 40=3364, $$

$$ y_1=\frac{-82-58}{42}=-\frac{10}{3}, \qquad y_2=\frac{-82+58}{42}=-\frac{4}{7}. $$

1) Если $$q+\frac{1}{q}=-\frac{10}{3},$$ то

$$ 3q^2+10q+3=0, $$

$$ D=64,\qquad q_1=-3,\; q_2=-\frac{1}{3}. $$

2) Если $$q+\frac{1}{q}=-\frac{4}{7},$$ то

$$ 7q^2+4q+7=0, $$

$$ D=16-196<0, $$

реальных решений нет.

Берём $$q=-3$$. Тогда из

$$ \frac{b_1(q^4+1)}{q+1}=-82 $$

получаем

$$ \frac{b_1(81+1)}{-2}=-82, $$

$$ b_1=2. $$

Тогда числа прогрессии:

$$ b_1=2,\quad b_2=2\cdot(-3)=-6,\quad b_3=-6\cdot(-3)=18,\quad b_4=18\cdot(-3)=-54. $$

Ответ

$$2;\,-6;\,18;\,-54.$$