Упр.426 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) Введём новые неизвестные $$z=\sqrt{x},\ t=\sqrt{y},\ z\ge 0,\ t\ge 0.$$ Тогда система примет вид

   $$ \begin{cases} 2z-t=5,\\ zt=3. \end{cases} $$

   Из первого уравнения $$t=2z-5.$$ Подставим во второе:

   $$ z(2z-5)=3 $$

   $$ 2z^2-5z-3=0 $$

   $$ (2z+1)(z-3)=0 $$

   С учётом условия $$z\ge 0$$ получаем $$z=3.$$ Тогда

   $$ t=2\cdot 3-5=1. $$

   Возвращаемся к старым неизвестным:

   $$ \sqrt{x}=3,\quad \sqrt{y}=1 $$

   $$ x=9,\quad y=1. $$

2. б) Введём новые неизвестные $$z=\sqrt{6+x},\ t=\sqrt{3y+4},\ z\ge 0,\ t\ge 0.$$ Тогда

   $$ \begin{cases} z-3t=-10,\\ 4t-5z=6. \end{cases} $$

   Из первого уравнения $$z=3t-10.$$ Подставим во второе:

   $$ 4t-5(3t-10)=6 $$

   $$ 4t-15t+50=6 $$

   $$ -11t=-44,\quad t=4. $$

   Тогда

   $$ z=3\cdot 4-10=2. $$

   Возвращаемся к старым неизвестным:

   $$ \sqrt{6+x}=2,\quad \sqrt{3y+4}=4 $$

   $$ 6+x=4,\quad 3y+4=16 $$

   $$ x=-2,\quad y=4. $$

3. в) Введём новые неизвестные $$z=\sqrt{x},\ t=\sqrt{y},\ z\ge 0,\ t\ge 0.$$ Тогда

   $$ \begin{cases} z+3t=10,\\ zt=8. \end{cases} $$

   Из первого уравнения $$z=10-3t.$$ Подставим во второе:

   $$ (10-3t)t=8 $$

   $$ 3t^2-10t+8=0 $$

   $$ (3t-4)(t-2)=0 $$

   Отсюда $$t=2$$ или $$t=\frac{4}{3}.$$

   1) Если $$t=2,$$ то $$z=10-3\cdot 2=4.$$

   2) Если $$t=\frac{4}{3},$$ то $$z=10-3\cdot \frac{4}{3}=6.$$

   Возвращаемся к старым неизвестным:

   $$ \sqrt{x}=4,\ \sqrt{y}=2 \quad \Rightarrow \quad x=16,\ y=4; $$

   $$ \sqrt{x}=6,\ \sqrt{y}=\frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad x=36,\ y=\frac{16}{9}. $$

4. г) Введём новые неизвестные $$z=\sqrt{x-2},\ t=\sqrt{5y+1},\ z\ge 0,\ t\ge 0.$$ Тогда

   $$ \begin{cases} 2z+5t=8,\\ 3z-2t=-2. \end{cases} $$

   Из первого уравнения $$z=\frac{8-5t}{2}.$$ Подставим во второе:

   $$ 3\cdot \frac{8-5t}{2}-2t=-2 $$

   $$ 24-15t-4t=-4 $$

   $$ 24-19t=-4 $$

   $$ t=\frac{28}{19}. $$

   Тогда

   $$ z=\frac{8-5\cdot \frac{28}{19}}{2}=\frac{6}{19}. $$

   Возвращаемся к старым неизвестным:

   $$ x-2=z^2=\left(\frac{6}{19}\right)^2=\frac{36}{361}, $$

   $$ 5y+1=t^2=\left(\frac{28}{19}\right)^2=\frac{784}{361}. $$

   Отсюда

   $$ x=2+\frac{36}{361}=\frac{758}{361},\qquad y=\frac{\frac{784}{361}-1}{5}=\frac{423}{1805}. $$

Ответ

а) $$x=9,\ y=1$$; б) $$x=-2,\ y=4$$; в) $$x=16,\ y=4$$ или $$x=36,\ y=\frac{16}{9}$$; г) $$x=\frac{758}{361},\ y=\frac{423}{1805}$$.