Упр.42 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) n^4+2n^3-n^2-2n делится на 24, если n?N;
б) (n^2+4n+3)(n^2+6n+8) делится на 24, если n?N;
в) n^3-n делится на 6, если n?N;
г) n^3-4n делится на 48, если n?N, n — четное.

Подробный ответ

а)
$$n^4+2n^3-n^2-2n=n^3(n+2)-n(n+2)=(n^3-n)(n+2)$$
$$n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)$$
Тогда
$$n^4+2n^3-n^2-2n=n(n-1)(n+1)(n+2).$$
Это произведение четырёх последовательных целых чисел, значит, оно делится на $$2\cdot 3\cdot 4=24$$.
б)
$$\begin{aligned} (n^2+4n+3)(n^2+6n+8) &= (n+1)(n+3)(n+2)(n+4) \\ &= (n+1)(n+2)(n+3)(n+4). \end{aligned}$$
Это произведение четырёх последовательных целых чисел, поэтому оно делится на $$2\cdot 3\cdot 4=24$$.
в)
$$n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1).$$
Среди трёх последовательных целых чисел одно делится на $$3$$, а одно из чисел $$n-1,\ n,\ n+1$$ обязательно чётное. Значит, произведение делится на $$2\cdot 3=6$$.
г)
Пусть $$n=2k$$, где $$k\in N$$. Тогда
$$n^3-4n=(2k)^3-4\cdot 2k=8k^3-8k=8k(k^2-1)=8k(k-1)(k+1).$$
Среди трёх последовательных чисел $$k-1,\ k,\ k+1$$ одно делится на $$3$$, а произведение $$k(k-1)(k+1)$$ содержит ещё множитель $$8$$. Поэтому
$$n^3-4n$$ делится на $$8\cdot 6=48$$.