Упр.4 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 4. Найдите число делителей числа n, если: а) n=1024; б) n=210; в) n=p_1^(?_1)p_2^(?_2)…p_k^(?_k) (?_1, ?_2, …, ?_k — натуральные, p_1, p_2, …, p_k — различные простые числа); г) n=10! (k! — обозначение произведения 1·2·3·…·k).

Число делителей числа, разложенного на простые множители в виде $$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k},$$ равно

$$N=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1).$$

1. $$1024=2^{10}.$$

   Тогда

   $$N=10+1=11.$$

2. $$210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7.$$

   Все простые множители входят в первой степени, значит

   $$N=(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=2^4=16.$$

3. Если

   $$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k},$$

   то число делителей равно

   $$N=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1).$$

4. Разложим $$10!$$ на простые множители:

   $$10!=2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7.$$

   Тогда число делителей:

   $$N=(8+1)(4+1)(2+1)(1+1)=9\cdot 5\cdot 3\cdot 2=270.$$

Ответ

а) $$11$$; б) $$16$$; в) $$(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)$$; г) $$270$$.