Упр.4 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
2) Упростите выражение:
а) (tg(?)+ctg(?))(1+cos(?))(1-cos(?));
б) (cos^3(?)+sin^3(?))/sin(?)+(cos^3(?)-sin^3(?))/cos(?);
в) 1/(1+tg^2(?))+1/(1+ctg^2(?));
г) sin^3(?)(1+ctg(?))+cos^3(?)(1+tg(?)).
3) Докажите тождество:
а) cos(?)/(1-sin(?))=(1+sin(?))/cos(?);
б) (1-(sin(?)+cos(?))^2)/(sin(?)cos(?)-ctg(?))=2tg^2(?);
в) sin(?)/(1-cos(?))=(1+cos(?))/sin(?);
г) tg^2(?)-sin^2(?)=tg^2(?)sin^2(?).
Основные формулы тригонометрии:
$$\tg^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}, \qquad \ctg^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha};$$
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, \qquad \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1;$$
$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \qquad \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.$$
Упростим выражения.
а)
$$ (\tg \alpha + \ctg \alpha)(1+\cos \alpha)(1-\cos \alpha) = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)(1-\cos^2 \alpha) $$
$$ = \frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}\cdot \sin^2 \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tg \alpha. $$
б)
$$ \frac{\cos^3 \alpha+\sin^3 \alpha}{\sin \alpha}+\frac{\cos^3 \alpha-\sin^3 \alpha}{\cos \alpha} $$
$$ = \frac{\cos^4 \alpha+\sin^3 \alpha \cos \alpha+\cos^3 \alpha \sin \alpha-\sin^4 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $$
$$ = \frac{(\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha)+\sin \alpha \cos \alpha(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} $$
$$ = \frac{\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha+\sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\cos 2\alpha + \frac12 \sin 2\alpha}{\frac12 \sin 2\alpha} = 2\ctg 2\alpha + 1. $$
в)
$$ \frac{1}{1+\tg^2 \alpha}+\frac{1}{1+\ctg^2 \alpha} = \cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha = 1. $$
г)
$$ \sin^3 \alpha(1+\ctg \alpha)+\cos^3 \alpha(1+\tg \alpha) $$
$$ = \sin^3 \alpha+\sin^2 \alpha \cos \alpha+\cos^3 \alpha+\sin \alpha \cos^2 \alpha $$
$$ = (\sin \alpha+\cos \alpha)(\sin^2 \alpha-\sin \alpha \cos \alpha+\cos^2 \alpha) + \sin \alpha \cos \alpha(\sin \alpha+\cos \alpha) $$
$$ = \sin \alpha+\cos \alpha. $$
Докажем тождества.
а)
$$ \frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha}=\frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha} $$
Достаточно умножить левую и правую части на $$\cos \alpha(1-\sin \alpha)$$:
$$ \cos^2 \alpha=(1+\sin \alpha)(1-\sin \alpha)=1-\sin^2 \alpha. $$
Тождество верно.
б)
$$ \frac{1-(\sin \alpha+\cos \alpha)^2}{\sin \alpha \cos \alpha-\ctg \alpha}=2\tg^2 \alpha $$
$$ 1-(\sin^2 \alpha+2\sin \alpha \cos \alpha+\cos^2 \alpha) = -2\sin \alpha \cos \alpha, $$
$$ \sin \alpha \cos \alpha-\ctg \alpha = \sin \alpha \cos \alpha-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha(\sin^2 \alpha-1)}{\sin \alpha} = -\frac{\cos \alpha \cos^2 \alpha}{\sin \alpha}. $$
Тогда
$$ \frac{-2\sin \alpha \cos \alpha}{-\frac{\cos \alpha \cos^2 \alpha}{\sin \alpha}} = 2\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2\tg^2 \alpha. $$
Тождество верно.
в)
$$ \frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}=\frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha} $$
Умножим обе части на $$\sin \alpha(1-\cos \alpha)$$:
$$ \sin^2 \alpha=(1+\cos \alpha)(1-\cos \alpha)=1-\cos^2 \alpha. $$
Тождество верно.
г)
$$ \tg^2 \alpha-\sin^2 \alpha=\tg^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha $$
$$ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}-\sin^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\cdot \sin^2 \alpha. $$
Левая часть:
$$ \sin^2 \alpha\left(\frac{1}{\cos^2 \alpha}-1\right) = \sin^2 \alpha\cdot \frac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha\cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tg^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha. $$
Тождество верно.
Ответ
1) $$\tg^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}, \ \ctg^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha}, \ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, \ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1, \ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.$$
2) а) $$\tg \alpha$$; б) $$2\ctg 2\alpha + 1$$; в) $$1$$; г) $$\sin \alpha+\cos \alpha$$.
3) Все тождества верны.
