Упр.39 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 39. Сумма первых трех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 10,5, а сумма прогрессии равна 12. Найдите ее первый член и знаменатель.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$. Так как прогрессия бесконечно убывающая, то $$0<q<1$$.

Сумма всех её членов:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=12,$$

откуда

$$b_1=12(1-q).$$

Сумма первых трёх членов:

$$S_3=\frac{b_1(1-q^3)}{1-q}=10{,}5.$$

Подставим сюда $$b_1=12(1-q)$$:

$$12(1-q)\cdot \frac{1-q^3}{1-q}=10{,}5,$$

$$12(1-q^3)=10{,}5.$$

Тогда

$$1-q^3=\frac{10{,}5}{12}=\frac{7}{8},$$

$$q^3=\frac{1}{8},$$

$$q=\frac{1}{2}.$$

Теперь найдём первый член:

$$b_1=12\left(1-\frac{1}{2}\right)=6.$$

Ответ

$$b_1=6,\quad q=\frac{1}{2}.$$