Упр.38 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 38. Докажите, что sin(47°)+sin(61°)-sin(11°)-sin(25°)=cos(7°).

Преобразуем левую часть, используя формулу суммы синусов:

$$ \sin 47^\circ+\sin 61^\circ-\sin 11^\circ-\sin 25^\circ = (\sin 47^\circ+\sin 61^\circ)-(\sin 11^\circ+\sin 25^\circ). $$

По формуле

$$ \sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2} $$

получаем:

$$ \sin 47^\circ+\sin 61^\circ=2\sin 54^\circ\cos 7^\circ, $$

$$ \sin 11^\circ+\sin 25^\circ=2\sin 18^\circ\cos 7^\circ. $$

Тогда

$$ (\sin 47^\circ+\sin 61^\circ)-(\sin 11^\circ+\sin 25^\circ) =2\cos 7^\circ(\sin 54^\circ-\sin 18^\circ). $$

Снова применим формулу разности синусов:

$$ \sin \alpha-\sin \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}. $$

Тогда

$$ \sin 54^\circ-\sin 18^\circ =2\cos 36^\circ\sin 18^\circ. $$

Следовательно,

$$ 2\cos 7^\circ(\sin 54^\circ-\sin 18^\circ) =4\cos 7^\circ\cos 36^\circ\sin 18^\circ. $$

Используем известное тождество

$$ 2\sin 18^\circ\cos 36^\circ=\frac12, $$

откуда

$$ 4\cos 7^\circ\cos 36^\circ\sin 18^\circ =2\cos 7^\circ\cdot \bigl(2\sin 18^\circ\cos 36^\circ\bigr) =2\cos 7^\circ\cdot \frac12 =\cos 7^\circ. $$

Значит,

$$ \sin 47^\circ+\sin 61^\circ-\sin 11^\circ-\sin 25^\circ=\cos 7^\circ. $$

Ответ

$$\cos 7^\circ$$