Упр.379 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

Разобьём стержень на бесконечно малые цилиндрические слои толщины $$dx$$ на расстоянии $$x$$ от оси вращения.

Масса такого слоя:

$$dm=\rho S\,dx.$$

Скорость точки слоя при вращении:

$$v=\omega x.$$

Тогда его кинетическая энергия равна

$$dE=\frac{dm\cdot v^2}{2}=\frac{\rho S\,dx\cdot \omega^2x^2}{2}.$$

Полная кинетическая энергия стержня:

$$E=\int_0^l \frac{\rho S\omega^2x^2}{2}\,dx =\frac{\rho S\omega^2}{2}\int_0^l x^2\,dx =\frac{\rho S\omega^2}{2}\cdot \frac{l^3}{3} =\frac{\rho S\omega^2l^3}{6}.$$

Подставим данные:

$$l=20\text{ см},\quad S=4\text{ см}^2,\quad \rho=7{,}8\text{ г/см}^3,\quad \omega=10\pi\text{ c}^{-1}.$$

Тогда

$$E=\frac{7{,}8\cdot 4\cdot (10\pi)^2\cdot 20^3}{6}\ \text{г}\cdot\text{см}^2/\text{с}^2.$$

Вычислим:

$$E=\frac{7{,}8\cdot 4\cdot 100\pi^2\cdot 8000}{6}=4\,160\,000\pi^2\ \text{эрг}.$$

Так как $$1\text{ эрг}=10^{-7}\text{ Дж},$$ получаем

$$E=4\,160\,000\pi^2\cdot 10^{-7}=0{,}416\pi^2\text{ Дж}\approx 4{,}11\text{ Дж}.$$