Упр.378 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

Разобьём шар на $$n$$ тонких слоёв толщиной $$\Delta x=\frac{2R}{n}.$$

Выделим один слой, находящийся на расстоянии $$x$$ от точки $$A$$. Работа против силы выталкивания при погружении этого слоя на глубину $$x$$ равна

$$\Delta A=\rho g\,\Delta V\cdot x.$$

Пусть $$|OB|=a$$. Тогда

$$y^2=R^2-a^2=R^2-(x-R)^2.$$

Следовательно, объём слоя можно приближённо записать так:

$$\Delta V\approx \pi y^2\Delta x=\pi\bigl[R^2-(x-R)^2\bigr]\Delta x=\pi x(2R-x)\Delta x.$$

Тогда работа против силы выталкивания при погружении шара в воду:

$$ A=\rho g\pi\int_0^{2R} x(2R-x)\,dx =\rho g\pi\int_0^{2R}(2Rx-x^2)\,dx. $$

Вычислим интеграл:

$$ A=\rho g\pi\left[Rx^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^{2R} =\rho g\pi\left(4R^3-\frac{8R^3}{3}\right) =\frac{4}{3}\pi\rho gR^3. $$