Упр.370 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а) $$y=x^2+1,\ x=0,\ x=1,\ y=0.$$

   При вращении вокруг оси абсцисс объём равен

   $$V=\pi\int_0^1 (x^2+1)^2\,dx.$$

   Раскроем скобки и проинтегрируем:

   $$ V=\pi\int_0^1 (x^4+2x^2+1)\,dx =\pi\left(\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\right)\Bigg|_0^1 $$

   $$ =\pi\left(\frac15+\frac23+1\right) =\pi\cdot\frac{28}{15} =\frac{28\pi}{15}. $$

2. б) $$y=\sqrt{x},\ x=1,\ x=4,\ y=0.$$

   $$ V=\pi\int_1^4 (\sqrt{x})^2\,dx =\pi\int_1^4 x\,dx =\pi\cdot\frac{x^2}{2}\Bigg|_1^4 $$

   $$ =\pi\left(\frac{16}{2}-\frac12\right) =\pi\cdot\frac{15}{2} =\frac{15\pi}{2}. $$

3. в) $$y=\sqrt{x},\ x=1,\ y=0.$$

   Здесь область ограничена графиком $$y=\sqrt{x}$$, осью абсцисс и прямой $$x=1$$, значит

   $$ V=\pi\int_0^1 (\sqrt{x})^2\,dx =\pi\int_0^1 x\,dx =\pi\cdot\frac{x^2}{2}\Bigg|_0^1 =\frac{\pi}{2}. $$

4. г) $$y=1-x^2,\ y=0.$$

   Точки пересечения с осью абсцисс найдём из уравнения

   $$ 1-x^2=0,\qquad x^2=1,\qquad x=\pm1. $$

   Тогда

   $$ V=\pi\int_{-1}^1 (1-x^2)^2\,dx =\pi\int_{-1}^1 (1-2x^2+x^4)\,dx $$

   $$ =\pi\left(x-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\right)\Bigg|_{-1}^1 =\pi\left(\frac{8}{15}-\left(-\frac{8}{15}\right)\right) =\frac{16\pi}{15}. $$

Ответ

а) $$\frac{28\pi}{15}$$; б) $$\frac{15\pi}{2}$$; в) $$\frac{\pi}{2}$$; г) $$\frac{16\pi}{15}$$.