Упр.368 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Найдём уравнение касательной к графику функции $$f(x)=8-0{,}5x^2$$ в точке с абсциссой $$x_0=-2$$.

Производная:

$$f'(x)=-x.$$

Тогда угловой коэффициент касательной:

$$f'(-2)=2.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f(-2)=8-0{,}5\cdot(-2)^2=8-2=6.$$

Уравнение касательной:

$$y=2(x+2)+6,$$

то есть

$$y=2x+10.$$

Искомая площадь равна площади между прямой $$y=2x+10$$ и параболой $$y=8-0{,}5x^2$$ на отрезке $$[-2;1]$$:

$$S=\int_{-2}^{1}\bigl((2x+10)-(8-0{,}5x^2)\bigr)\,dx.$$

Упростим подынтегральное выражение:

$$S=\int_{-2}^{1}(0{,}5x^2+2x+2)\,dx.$$

Первообразная:

$$\int(0{,}5x^2+2x+2)\,dx=\frac{x^3}{6}+x^2+2x.$$

Тогда

$$ S=\left(\frac{x^3}{6}+x^2+2x\right)\Bigg|_{-2}^{1} =\left(\frac16+1+2\right)-\left(-\frac{8}{6}+4-4\right). $$

$$ S=\frac{19}{6}-\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{19}{6}+\frac{8}{6}=\frac{27}{6}=\frac92. $$

Ответ

$$\frac92$$