Упр.364 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а) Фигура ограничена графиком $$y=x^3$$, прямой $$y=8$$ и прямой $$x=1$$.

   Тогда площадь равна разности площади прямоугольника и площади под графиком:
   $$S=1\cdot 8-\int_{1}^{2}x^3\,dx.$$
   Найдём интеграл:
   $$ \int_{1}^{2}x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{1}^{2}=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}. $$
   Значит,
   $$ S=8-\frac{15}{4}=\frac{17}{4}. $$

2. б) Фигура ограничена графиком $$y=2\cos x$$, прямой $$y=1$$ и прямыми $$x=-\frac{\pi}{3}$$, $$x=\frac{\pi}{3}$$.

   Площадь:
   $$ S=\int_{-\pi/3}^{\pi/3}2\cos x\,dx-1\cdot \frac{2\pi}{3}. $$
   Тогда
   $$ S=\left.2\sin x\right|_{-\pi/3}^{\pi/3}-\frac{2\pi}{3} =2\sin\frac{\pi}{3}-2\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{2\pi}{3}. $$
   $$ S=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-2\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\frac{2\pi}{3} =2\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}. $$

3. в) Фигура ограничена графиком $$y=x^2-2x+4$$, прямой $$y=3$$ и прямой $$x=-1$$.

   Найдём точку пересечения графика с прямой $$y=3$$:
   $$ x^2-2x+4=3, $$
   $$ x^2-2x+1=0, $$
   $$ (x-1)^2=0,\quad x=1. $$
   Тогда площадь:
   $$ S=\int_{-1}^{1}(x^2-2x+4)\,dx-2\cdot 3. $$
   Вычислим:
   $$ \int_{-1}^{1}(x^2-2x+4)\,dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}-x^2+4x\right)\right|_{-1}^{1}. $$
   $$ \left(\frac{1}{3}-1+4\right)-\left(-\frac{1}{3}-1-4\right)=\frac{10}{3}+\frac{16}{3}=\frac{26}{3}. $$
   Следовательно,
   $$ S=\frac{26}{3}-6=\frac{8}{3}. $$

4. г) Фигура ограничена графиком $$y=\sin x$$, прямой $$y=\frac12$$ и прямой $$x=\frac{5\pi}{6}$$.

   Левая граница — точка пересечения $$\sin x=\frac12$$, то есть $$x=\frac{\pi}{6}$$. Тогда
   $$ S=\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\sin x\,dx-\frac12\left(\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{6}\right). $$
   $$ S=\left.-\cos x\right|_{\pi/6}^{5\pi/6}-\frac12\cdot \frac{2\pi}{3} =-\cos\frac{5\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}. $$
   $$ S=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{3} =\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}. $$

Ответ

а) $$\frac{17}{4}$$; б) $$2\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}$$; в) $$\frac{8}{3}$$; г) $$\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$$.