Упр.36 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 36. Проверьте, что число x_0 является корнем уравнения arctg(x)=?/12, x_0=(v3-1)/(v3+1).

Проверим, что число

$$x_0=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$$

является корнем уравнения

$$\arctg x=\frac{\pi}{12}.$$

Найдём значение правой части через формулу тангенса разности:

$$\tg\frac{\pi}{12}=\tg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{4}-\tg\frac{\pi}{6}}{1+\tg\frac{\pi}{4}\tg\frac{\pi}{6}}.$$

Так как $$\tg\frac{\pi}{4}=1,$$ $$\tg\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}},$$ то

$$\tg\frac{\pi}{12}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}.$$

Следовательно,

$$x_0=\tg\frac{\pi}{12}.$$

Тогда

$$\arctg x_0=\arctg\left(\tg\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\pi}{12},$$

то есть число $$x_0$$ действительно является корнем уравнения.

Ответ

$$x_0=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$$ — корень уравнения.