Упр.358 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{(2x+1)^2}$$

   Найдём первообразную:

   $$\int (2x+1)^{-2}\,dx=-\frac{1}{2(2x+1)}+C.$$

   Тогда по формуле Ньютона—Лейбница:

   $$ \int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{(2x+1)^2} =-\frac{1}{2(2\cdot 2+1)}+\frac{1}{2(2\cdot 1+1)} =-\frac{1}{10}+\frac{1}{6} =\frac{1}{15}. $$

2. $$\int\limits_{0}^{\pi} 3\cos\frac{x}{2}\,dx$$

   Первообразная:

   $$\int 3\cos\frac{x}{2}\,dx=6\sin\frac{x}{2}+C.$$

   Тогда

   $$ \int\limits_{0}^{\pi} 3\cos\frac{x}{2}\,dx =6\sin\frac{\pi}{2}-6\sin 0 =6. $$

3. $$\int\limits_{1}^{10}\frac{dx}{x^2}$$

   Так как $$\frac{1}{x^2}=x^{-2},$$ то

   $$\int x^{-2}\,dx=-\frac{1}{x}+C.$$

   Следовательно,

   $$ \int\limits_{1}^{10}\frac{dx}{x^2} =-\frac{1}{10}-\left(-1\right) =1-\frac{1}{10} =\frac{9}{10}. $$

4. $$\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}\sin 2x\,dx$$

   Первообразная:

   $$\int \sin 2x\,dx=-\frac{\cos 2x}{2}+C.$$

   Тогда

   $$ \int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}\sin 2x\,dx =-\frac{\cos \pi}{2}+\frac{\cos \frac{\pi}{2}}{2} =-\frac{-1}{2}+\frac{0}{2} =\frac{1}{2}. $$

Ответ

а) $$\frac{1}{15}$$; б) $$6$$; в) $$\frac{9}{10}$$; г) $$\frac{1}{2}$$.