Упр.35 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) arcsin(sin(10)); б) arccos(cos(12));
в) arctg(tg(2)); г) arcctg(ctg(3)).

Используем свойства обратных тригонометрических функций и приведём аргументы к их основным промежуткам значений.

1. $$\arcsin(\sin 10)$$

   Значение $$\arcsin x$$ лежит в промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$. Число $$10$$ приводим к этому промежутку:

   $$10-3\pi \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$

   Так как $$\sin 10=\sin(3\pi-10)$$ и $$3\pi-10 \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$, то

   $$\arcsin(\sin 10)=3\pi-10.$$

2. $$\arccos(\cos 12)$$

   Значение $$\arccos x$$ лежит в промежутке $$[0,\pi]$$. Приведём число $$12$$ к этому промежутку:

   $$4\pi-12 \in [0,\pi]$$

   Поскольку $$\cos 12=\cos(4\pi-12)$$ и $$4\pi-12 \in [0,\pi]$$, получаем

   $$\arccos(\cos 12)=4\pi-12.$$

3. $$\arctg(\tg 2)$$

   Значение $$\arctg x$$ лежит в промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$. Число $$2$$ приводим к этому промежутку:

   $$2-\pi \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$

   Так как $$\tg 2=\tg(2-\pi)$$, то

   $$\arctg(\tg 2)=2-\pi.$$

4. $$\arcctg(\ctg 3)$$

   Значение $$\arcctg x$$ лежит в промежутке $$(0,\pi)$$. Число $$3$$ уже принадлежит этому промежутку, поэтому

   $$\arcctg(\ctg 3)=3.$$

Ответ

$$\arcsin(\sin 10)=3\pi-10,\quad \arccos(\cos 12)=4\pi-12,\quad \arctg(\tg 2)=2-\pi,\quad \arcctg(\ctg 3)=3.$$