Упр.344 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) $$f(x)=\frac{3}{(4-15x)^4}=3(4-15x)^{-4}.$$

   Тогда первообразная:

   $$F(x)=3\cdot \frac{(4-15x)^{-3}}{-3}+C=-\frac{1}{(4-15x)^3}+C.$$

   Проверка:

   $$F'(x)=\left(-\frac{1}{(4-15x)^3}\right)’=\frac{3\cdot 15}{(4-15x)^4}\cdot \frac{1}{15}=\frac{3}{(4-15x)^4}=f(x).$$

2. б) $$f(x)=\frac{2}{\cos^2\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}=2\sec^2\left(\frac{\pi}{3}-x\right).$$

   Используем формулу $$\int \sec^2 u\,du=\tg u + C$$ и учитываем производную внутренней функции:

   $$F(x)=-2\tg\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+C.$$

   Проверка:

   $$F'(x)=-2\cdot \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}\cdot(-1)=\frac{2}{\cos^2\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}=f(x).$$

3. в) $$f(x)=\frac{4}{(3x-1)^2}=4(3x-1)^{-2}.$$

   Тогда

   $$F(x)=4\cdot \frac{(3x-1)^{-1}}{-3}+C=-\frac{4}{3(3x-1)}+C.$$

   Проверка:

   $$F'(x)=-\frac{4}{3}\cdot \left(3x-1\right)^{-2}\cdot 3=\frac{4}{(3x-1)^2}=f(x).$$

4. г) $$f(x)=-\frac{2}{x^5}+\frac{1}{\cos^2(3x-1)}=-2x^{-5}+\sec^2(3x-1).$$

   Найдём первообразную по частям:

   $$F(x)=\int -2x^{-5}\,dx+\int \frac{1}{\cos^2(3x-1)}\,dx.$$

   $$\int -2x^{-5}\,dx=\frac{1}{2x^4}, \qquad \int \frac{1}{\cos^2(3x-1)}\,dx=\frac{1}{3}\tg(3x-1).$$

   Значит,

   $$F(x)=\frac{1}{2x^4}+\frac{1}{3}\tg(3x-1)+C.$$

   Проверка:

   $$F'(x)=\left(\frac{1}{2x^4}\right)’+\left(\frac{1}{3}\tg(3x-1)\right)’=-\frac{2}{x^5}+\frac{1}{\cos^2(3x-1)}=f(x).$$

Ответ

а) $$F(x)=-\frac{1}{(4-15x)^3}+C$$

б) $$F(x)=-2\tg\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+C$$

в) $$F(x)=-\frac{4}{3(3x-1)}+C$$

г) $$F(x)=\frac{1}{2x^4}+\frac{1}{3}\tg(3x-1)+C$$