Упр.34 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 1/cos(290°)+1/(v3sin(250°));
б) sin^6(?)+cos^6(?), если sin(?)+cos(?)=m;
в) cos(84°)cos(24°)cos(48°)cos(12°);
г) cos^8(?)-sin^8(?), если cos(2?)=m.

1. $$\frac{1}{\cos 290^\circ}+\frac{1}{\sqrt{3}\sin 250^\circ}$$

   $$\cos 290^\circ=\cos(270^\circ+20^\circ)=\sin 20^\circ,$$

   $$\sin 250^\circ=\sin(270^\circ-20^\circ)=-\cos 20^\circ.$$

   Тогда

   $$\frac{1}{\sin 20^\circ}-\frac{1}{\sqrt{3}\cos 20^\circ} =\frac{\sqrt{3}\cos 20^\circ-\sin 20^\circ}{\sqrt{3}\sin 20^\circ\cos 20^\circ}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на $$2$$:

   $$\frac{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 20^\circ-\frac{1}{2}\sin 20^\circ\right)}{\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}\sin 40^\circ} =\frac{4(\sin 60^\circ\cos 20^\circ-\cos 60^\circ\sin 20^\circ)}{\sqrt{3}\sin 40^\circ}.$$

   По формуле синуса разности:

   $$\frac{4\sin(60^\circ-20^\circ)}{\sqrt{3}\sin 40^\circ} =\frac{4\sin 40^\circ}{\sqrt{3}\sin 40^\circ} =\frac{4}{\sqrt{3}}.$$

2. Пусть $$x=\sin^6\alpha+\cos^6\alpha,$$ где $$\sin\alpha+\cos\alpha=m.$$

   Найдём $$\sin\alpha\cos\alpha$$:

   $$m^2=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1+2\sin\alpha\cos\alpha,$$

   откуда

   $$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{m^2-1}{2}.$$

   Теперь

   $$x=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)(\sin^4\alpha-\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha).$$

   Так как $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,$$ то

   $$x=\sin^4\alpha-\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha.$$

   Преобразуем:

   $$x=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha =1-3\left(\frac{m^2-1}{2}\right)^2.$$

   Следовательно,

   $$x=1-\frac{3}{4}(m^2-1)^2.$$

3. $$\cos 84^\circ\cos 24^\circ\cos 48^\circ\cos 12^\circ$$

   Используем формулу

   $$\sin 2x=2\sin x\cos x.$$

   Тогда

   $$\cos 84^\circ=\sin 6^\circ,\quad \cos 24^\circ=\frac{\sin 48^\circ}{2\sin 24^\circ},\quad \cos 48^\circ=\frac{\sin 96^\circ}{2\sin 48^\circ}.$$

   Удобнее последовательно сгруппировать множители:

   $$\cos 84^\circ\cos 24^\circ\cos 48^\circ\cos 12^\circ =\frac{\sin 6^\circ\cos 6^\circ\cos 12^\circ\cos 24^\circ\cos 48^\circ}{\cos 6^\circ}.$$

   После последовательного применения формулы двойного угла получаем:

   $$\cos 84^\circ\cos 24^\circ\cos 48^\circ\cos 12^\circ=\frac{1}{16}.$$

4. Пусть $$x=\cos^8\alpha-\sin^8\alpha,$$ где $$\cos 2\alpha=m.$$

   Разложим разность степеней:

   $$x=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)(\cos^4\alpha+\sin^4\alpha).$$

   Так как $$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$$ и $$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos 2\alpha=m,$$ то

   $$x=m(\cos^4\alpha+\sin^4\alpha).$$

   Далее

   $$\cos^4\alpha+\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)^2-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha =1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha.$$

   Но

   $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \sin^2 2\alpha=1-m^2,$$

   значит

   $$\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\frac{1-m^2}{4}.$$

   Тогда

   $$x=m\left(1-\frac{1-m^2}{2}\right)=m\cdot \frac{1+m^2}{2}=\frac{m+m^3}{2}.$$

Ответ

а) $$\frac{4}{\sqrt{3}}$$; б) $$1-\frac{3}{4}(m^2-1)^2$$; в) $$\frac{1}{16}$$; г) $$\frac{m+m^3}{2}$$.